Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3137 / 3039
↖ ↑ ↗
← S 65.330178°
E 95.712891°		 ← 4 079.13 m → S 65.330178°
E 95.800781°		 →
↑
4 076.29 m
↓
↑
4 076.29 m
↓
S 65.366837°
E 95.712891°		 ← 4 073.45 m →
16 616 156 m²		 S 65.366837°
E 95.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7659912109375 y=0.7420654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7659912109375 × 212)
    floor (0.7659912109375 × 4096)
    floor (3137.5)     		tx = 3137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7420654296875 × 212)
    floor (0.7420654296875 × 4096)
    floor (3039.5)     		ty = 3039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3137 / 3039 ti = "12/3137/3039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3137/3039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3137 ÷ 212
    3137 ÷ 4096     		x = 0.765869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3039 ÷ 212
    3039 ÷ 4096     		y = 0.741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765869140625 × 2 - 1) × π
    0.53173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67050508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741943359375 × 2 - 1) × π
    -0.48388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52017496075122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67050508} λ = 1.67050508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52017496075122))-π/2
    2×atan(0.218673624303501)-π/2
    2×0.215284810638955-π/2
    0.430569621277911-1.57079632675     		φ = -1.14022671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67050508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14022671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.330178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3137 KachelY 3039 1.67050508 -1.14022671 95.712891 -65.330178
    Oben rechts KachelX + 1 3138 KachelY 3039 1.67203906 -1.14022671 95.800781 -65.330178
    Unten links KachelX 3137 KachelY + 1 3040 1.67050508 -1.14086653 95.712891 -65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 3138 KachelY + 1 3040 1.67203906 -1.14086653 95.800781 -65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14022671--1.14086653) × R
    0.000639819999999958 × 6371000     		dl = 4076.29321999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14022671--1.14086653) × R
    0.000639819999999958 × 6371000     		dr = 4076.29321999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67050508-1.67203906) × cos(-1.14022671) × R
    0.00153397999999982 × 0.417388496928577 × 6371000     		do = 4079.13217912889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67050508-1.67203906) × cos(-1.14086653) × R
    0.00153397999999982 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 4073.44911085597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14022671)-sin(-1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417388496928577-0.416806989093035)×R²
    abs(1.67203906-1.67050508)×0.000581507835542339×R²
    0.00153397999999982×0.000581507835542339×6371000²
    0.00153397999999982×0.000581507835542339×40589641000000     		ar = 16616156.485775m²