Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31365 / 15492
↖ ↑ ↗
← N 68.391089°
W  7.706909°		 ← 224.93 m → N 68.391089°
W  7.701416°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
N 68.389066°
W  7.706909°		 ← 224.95 m →
50 603 m²		 N 68.389066°
W  7.701416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478599548339844 y=0.236396789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478599548339844 × 216)
    floor (0.478599548339844 × 65536)
    floor (31365.5)     		tx = 31365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236396789550781 × 216)
    floor (0.236396789550781 × 65536)
    floor (15492.5)     		ty = 15492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31365 / 15492 ti = "16/31365/15492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31365/15492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31365 ÷ 216
    31365 ÷ 65536     		x = 0.478591918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15492 ÷ 216
    15492 ÷ 65536     		y = 0.23638916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478591918945312 × 2 - 1) × π
    -0.042816162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13451094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23638916015625 × 2 - 1) × π
    0.5272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65631575567218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13451094} λ = -0.13451094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65631575567218))-π/2
    2×atan(5.23996990854396)-π/2
    2×1.38222300996359-π/2
    2.76444601992719-1.57079632675     		φ = 1.19364969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13451094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.706909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19364969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.391089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31365 KachelY 15492 -0.13451094 1.19364969 -7.706909 68.391089
    Oben rechts KachelX + 1 31366 KachelY 15492 -0.13441507 1.19364969 -7.701416 68.391089
    Unten links KachelX 31365 KachelY + 1 15493 -0.13451094 1.19361438 -7.706909 68.389066
    Unten rechts KachelX + 1 31366 KachelY + 1 15493 -0.13441507 1.19361438 -7.701416 68.389066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19364969-1.19361438) × R
    3.53099999998996e-05 × 6371000     		dl = 224.96000999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19364969-1.19361438) × R
    3.53099999998996e-05 × 6371000     		dr = 224.96000999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13451094--0.13441507) × cos(1.19364969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368269145550456 × 6371000     		do = 224.934290170563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13451094--0.13441507) × cos(1.19361438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368301973706688 × 6371000     		du = 224.954341206902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19364969)-sin(1.19361438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368269145550456-0.368301973706688)×R²
    abs(-0.13441507--0.13451094)×3.28281562325117e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28281562325117e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28281562325117e-05×40589641000000     		ar = 50603.4755118396m²