Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31365 / 14728
↖ ↑ ↗
← N 69.885010°
W  7.706909°		 ← 210.05 m → N 69.885010°
W  7.701416°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
N 69.883121°
W  7.706909°		 ← 210.07 m →
44 124 m²		 N 69.883121°
W  7.701416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478599548339844 y=0.224739074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478599548339844 × 216)
    floor (0.478599548339844 × 65536)
    floor (31365.5)     		tx = 31365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224739074707031 × 216)
    floor (0.224739074707031 × 65536)
    floor (14728.5)     		ty = 14728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31365 / 14728 ti = "16/31365/14728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31365/14728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31365 ÷ 216
    31365 ÷ 65536     		x = 0.478591918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14728 ÷ 216
    14728 ÷ 65536     		y = 0.2247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478591918945312 × 2 - 1) × π
    -0.042816162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13451094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2247314453125 × 2 - 1) × π
    0.550537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72956333829163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13451094} λ = -0.13451094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72956333829163))-π/2
    2×atan(5.63819138853952)-π/2
    2×1.39525992487162-π/2
    2.79051984974324-1.57079632675     		φ = 1.21972352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13451094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.706909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21972352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.885010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31365 KachelY 14728 -0.13451094 1.21972352 -7.706909 69.885010
    Oben rechts KachelX + 1 31366 KachelY 14728 -0.13441507 1.21972352 -7.701416 69.885010
    Unten links KachelX 31365 KachelY + 1 14729 -0.13451094 1.21969055 -7.706909 69.883121
    Unten rechts KachelX + 1 31366 KachelY + 1 14729 -0.13441507 1.21969055 -7.701416 69.883121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21972352-1.21969055) × R
    3.29700000001321e-05 × 6371000     		dl = 210.051870000841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21972352-1.21969055) × R
    3.29700000001321e-05 × 6371000     		dr = 210.051870000841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13451094--0.13441507) × cos(1.21972352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343905375368429 × 6371000     		do = 210.053197312291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13451094--0.13441507) × cos(1.21969055) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343936334153584 × 6371000     		du = 210.072106559638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21972352)-sin(1.21969055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343905375368429-0.343936334153584)×R²
    abs(-0.13441507--0.13451094)×3.09587851543558e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09587851543558e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09587851543558e-05×40589641000000     		ar = 44124.0528602504m²