Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31363 / 12674
↖ ↑ ↗
← N 73.425290°
W  7.717896°		 ← 174.25 m → N 73.425290°
W  7.712402°		 →
↑
174.25 m
↓
↑
174.25 m
↓
N 73.423723°
W  7.717896°		 ← 174.27 m →
30 365 m²		 N 73.423723°
W  7.712402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478569030761719 y=0.193397521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478569030761719 × 216)
    floor (0.478569030761719 × 65536)
    floor (31363.5)     		tx = 31363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193397521972656 × 216)
    floor (0.193397521972656 × 65536)
    floor (12674.5)     		ty = 12674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31363 / 12674 ti = "16/31363/12674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31363/12674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31363 ÷ 216
    31363 ÷ 65536     		x = 0.478561401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12674 ÷ 216
    12674 ÷ 65536     		y = 0.193389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478561401367188 × 2 - 1) × π
    -0.042877197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13470269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193389892578125 × 2 - 1) × π
    0.61322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92648812193082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13470269} λ = -0.13470269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92648812193082))-π/2
    2×atan(6.8653575571214)-π/2
    2×1.42615469497327-π/2
    2.85230938994654-1.57079632675     		φ = 1.28151306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13470269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.717896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28151306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.425290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31363 KachelY 12674 -0.13470269 1.28151306 -7.717896 73.425290
    Oben rechts KachelX + 1 31364 KachelY 12674 -0.13460681 1.28151306 -7.712402 73.425290
    Unten links KachelX 31363 KachelY + 1 12675 -0.13470269 1.28148571 -7.717896 73.423723
    Unten rechts KachelX + 1 31364 KachelY + 1 12675 -0.13460681 1.28148571 -7.712402 73.423723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28151306-1.28148571) × R
    2.73500000000926e-05 × 6371000     		dl = 174.24685000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28151306-1.28148571) × R
    2.73500000000926e-05 × 6371000     		dr = 174.24685000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13470269--0.13460681) × cos(1.28151306) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.285265346511718 × 6371000     		do = 174.254759109433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13470269--0.13460681) × cos(1.28148571) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.285291559973708 × 6371000     		du = 174.270771641485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28151306)-sin(1.28148571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285265346511718-0.285291559973708)×R²
    abs(-0.13460681--0.13470269)×2.62134619898324e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.62134619898324e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.62134619898324e-05×40589641000000     		ar = 30364.7379411564m²