Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31362 / 17026
↖ ↑ ↗
← N 65.067499°
W  7.723389°		 ← 257.48 m → N 65.067499°
W  7.717896°		 →
↑
257.52 m
↓
↑
257.52 m
↓
N 65.065183°
W  7.723389°		 ← 257.50 m →
66 307 m²		 N 65.065183°
W  7.717896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478553771972656 y=0.259803771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478553771972656 × 216)
    floor (0.478553771972656 × 65536)
    floor (31362.5)     		tx = 31362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259803771972656 × 216)
    floor (0.259803771972656 × 65536)
    floor (17026.5)     		ty = 17026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31362 / 17026 ti = "16/31362/17026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31362/17026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31362 ÷ 216
    31362 ÷ 65536     		x = 0.478546142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17026 ÷ 216
    17026 ÷ 65536     		y = 0.259796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478546142578125 × 2 - 1) × π
    -0.04290771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13479856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259796142578125 × 2 - 1) × π
    0.48040771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50924534763785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13479856} λ = -0.13479856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50924534763785))-π/2
    2×atan(4.52331597489033)-π/2
    2×1.35321921191658-π/2
    2.70643842383316-1.57079632675     		φ = 1.13564210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13479856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.723389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13564210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.067499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31362 KachelY 17026 -0.13479856 1.13564210 -7.723389 65.067499
    Oben rechts KachelX + 1 31363 KachelY 17026 -0.13470269 1.13564210 -7.717896 65.067499
    Unten links KachelX 31362 KachelY + 1 17027 -0.13479856 1.13560168 -7.723389 65.065183
    Unten rechts KachelX + 1 31363 KachelY + 1 17027 -0.13470269 1.13560168 -7.717896 65.065183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13564210-1.13560168) × R
    4.0420000000152e-05 × 6371000     		dl = 257.515820000968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13564210-1.13560168) × R
    4.0420000000152e-05 × 6371000     		dr = 257.515820000968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13479856--0.13470269) × cos(1.13564210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421550260014291 × 6371000     		do = 257.477743257044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13479856--0.13470269) × cos(1.13560168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421586912729588 × 6371000     		du = 257.500130287284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13564210)-sin(1.13560168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421550260014291-0.421586912729588)×R²
    abs(-0.13470269--0.13479856)×3.66527152965701e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66527152965701e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66527152965701e-05×40589641000000     		ar = 66307.4747030579m²