Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31361 / 17030
↖ ↑ ↗
← N 65.058235°
W  7.728882°		 ← 257.59 m → N 65.058235°
W  7.723389°		 →
↑
257.58 m
↓
↑
257.58 m
↓
N 65.055919°
W  7.728882°		 ← 257.62 m →
66 354 m²		 N 65.055919°
W  7.723389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478538513183594 y=0.259864807128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478538513183594 × 216)
    floor (0.478538513183594 × 65536)
    floor (31361.5)     		tx = 31361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259864807128906 × 216)
    floor (0.259864807128906 × 65536)
    floor (17030.5)     		ty = 17030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31361 / 17030 ti = "16/31361/17030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31361/17030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31361 ÷ 216
    31361 ÷ 65536     		x = 0.478530883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17030 ÷ 216
    17030 ÷ 65536     		y = 0.259857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478530883789062 × 2 - 1) × π
    -0.042938232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13489444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259857177734375 × 2 - 1) × π
    0.48028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50886185244089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13489444} λ = -0.13489444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50886185244089))-π/2
    2×atan(4.52158163751591)-π/2
    2×1.35313836661004-π/2
    2.70627673322008-1.57079632675     		φ = 1.13548041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13489444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.728882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13548041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.058235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31361 KachelY 17030 -0.13489444 1.13548041 -7.728882 65.058235
    Oben rechts KachelX + 1 31362 KachelY 17030 -0.13479856 1.13548041 -7.723389 65.058235
    Unten links KachelX 31361 KachelY + 1 17031 -0.13489444 1.13543998 -7.728882 65.055919
    Unten rechts KachelX + 1 31362 KachelY + 1 17031 -0.13479856 1.13543998 -7.723389 65.055919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13548041-1.13543998) × R
    4.04300000000912e-05 × 6371000     		dl = 257.579530000581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13548041-1.13543998) × R
    4.04300000000912e-05 × 6371000     		dr = 257.579530000581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13489444--0.13479856) × cos(1.13548041) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.421696875809934 × 6371000     		do = 257.594160699854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13489444--0.13479856) × cos(1.13543998) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.421733534836784 × 6371000     		du = 257.616553920661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13548041)-sin(1.13543998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421696875809934-0.421733534836784)×R²
    abs(-0.13479856--0.13489444)×3.66590268499056e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.66590268499056e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.66590268499056e-05×40589641000000     		ar = 66353.8668706209m²