Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31361 / 13205
↖ ↑ ↗
← N 72.572605°
W  7.728882°		 ← 182.95 m → N 72.572605°
W  7.723389°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 72.570959°
W  7.728882°		 ← 182.96 m →
33 476 m²		 N 72.570959°
W  7.723389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478538513183594 y=0.201499938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478538513183594 × 216)
    floor (0.478538513183594 × 65536)
    floor (31361.5)     		tx = 31361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201499938964844 × 216)
    floor (0.201499938964844 × 65536)
    floor (13205.5)     		ty = 13205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31361 / 13205 ti = "16/31361/13205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31361/13205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31361 ÷ 216
    31361 ÷ 65536     		x = 0.478530883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13205 ÷ 216
    13205 ÷ 65536     		y = 0.201492309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478530883789062 × 2 - 1) × π
    -0.042938232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13489444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201492309570312 × 2 - 1) × π
    0.597015380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87557913453432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13489444} λ = -0.13489444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87557913453432))-π/2
    2×atan(6.52459664561682)-π/2
    2×1.41871361235955-π/2
    2.8374272247191-1.57079632675     		φ = 1.26663090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13489444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.728882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26663090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.572605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31361 KachelY 13205 -0.13489444 1.26663090 -7.728882 72.572605
    Oben rechts KachelX + 1 31362 KachelY 13205 -0.13479856 1.26663090 -7.723389 72.572605
    Unten links KachelX 31361 KachelY + 1 13206 -0.13489444 1.26660218 -7.728882 72.570959
    Unten rechts KachelX + 1 31362 KachelY + 1 13206 -0.13479856 1.26660218 -7.723389 72.570959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26663090-1.26660218) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26663090-1.26660218) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13489444--0.13479856) × cos(1.26663090) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.29949701561433 × 6371000     		do = 182.948195243583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13489444--0.13479856) × cos(1.26660218) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.299524417163454 × 6371000     		du = 182.96493352042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26663090)-sin(1.26660218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29949701561433-0.299524417163454)×R²
    abs(-0.13479856--0.13489444)×2.74015491243396e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.74015491243396e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.74015491243396e-05×40589641000000     		ar = 33476.4993249609m²