Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31360 / 19328
↖ ↑ ↗
← N 77.542096°
W 93.867187°		 ← 65.89 m → N 77.542096°
W 93.864441°		 →
↑
65.88 m
↓
↑
65.88 m
↓
N 77.541503°
W 93.867187°		 ← 65.89 m →
4 340 m²		 N 77.541503°
W 93.864441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.239261627197266 y=0.147464752197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.239261627197266 × 217)
    floor (0.239261627197266 × 131072)
    floor (31360.5)     		tx = 31360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147464752197266 × 217)
    floor (0.147464752197266 × 131072)
    floor (19328.5)     		ty = 19328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31360 / 19328 ti = "17/31360/19328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31360/19328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31360 ÷ 217
    31360 ÷ 131072     		x = 0.2392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19328 ÷ 217
    19328 ÷ 131072     		y = 0.1474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2392578125 × 2 - 1) × π
    -0.521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.63829148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1474609375 × 2 - 1) × π
    0.705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21506825764355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63829148} λ = -1.63829148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21506825764355))-π/2
    2×atan(9.16203446914887)-π/2
    2×1.46208060509691-π/2
    2.92416121019382-1.57079632675     		φ = 1.35336488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63829148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35336488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.542096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31360 KachelY 19328 -1.63829148 1.35336488 -93.867187 77.542096
    Oben rechts KachelX + 1 31361 KachelY 19328 -1.63824354 1.35336488 -93.864441 77.542096
    Unten links KachelX 31360 KachelY + 1 19329 -1.63829148 1.35335454 -93.867187 77.541503
    Unten rechts KachelX + 1 31361 KachelY + 1 19329 -1.63824354 1.35335454 -93.864441 77.541503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35336488-1.35335454) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dl = 65.8761399999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35336488-1.35335454) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dr = 65.8761399999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63829148--1.63824354) × cos(1.35336488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215722261434972 × 6371000     		do = 65.8871313332066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63829148--1.63824354) × cos(1.35335454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215732357965698 × 6371000     		du = 65.8902150735751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35336488)-sin(1.35335454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215722261434972-0.215732357965698)×R²
    abs(-1.63824354--1.63829148)×1.00965307263945e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00965307263945e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00965307263945e-05×40589641000000     		ar = 4340.49146034444m²