Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31360 / 14720
↖ ↑ ↗
← N 69.900118°
W  7.734375°		 ← 209.90 m → N 69.900118°
W  7.728882°		 →
↑
209.92 m
↓
↑
209.92 m
↓
N 69.898230°
W  7.734375°		 ← 209.92 m →
44 066 m²		 N 69.898230°
W  7.728882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478523254394531 y=0.224617004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478523254394531 × 216)
    floor (0.478523254394531 × 65536)
    floor (31360.5)     		tx = 31360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224617004394531 × 216)
    floor (0.224617004394531 × 65536)
    floor (14720.5)     		ty = 14720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31360 / 14720 ti = "16/31360/14720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31360/14720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31360 ÷ 216
    31360 ÷ 65536     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14720 ÷ 216
    14720 ÷ 65536     		y = 0.224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224609375 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73033032868555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73033032868555))-π/2
    2×atan(5.64251748599914)-π/2
    2×1.39539176344744-π/2
    2.79078352689489-1.57079632675     		φ = 1.21998720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21998720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.900118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31360 KachelY 14720 -0.13499031 1.21998720 -7.734375 69.900118
    Oben rechts KachelX + 1 31361 KachelY 14720 -0.13489444 1.21998720 -7.728882 69.900118
    Unten links KachelX 31360 KachelY + 1 14721 -0.13499031 1.21995425 -7.734375 69.898230
    Unten rechts KachelX + 1 31361 KachelY + 1 14721 -0.13489444 1.21995425 -7.728882 69.898230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21998720-1.21995425) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dl = 209.924450000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21998720-1.21995425) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dr = 209.924450000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.13489444) × cos(1.21998720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343657766759656 × 6371000     		do = 209.901961002306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.13489444) × cos(1.21995425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343688709751948 × 6371000     		du = 209.920860603565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21998720)-sin(1.21995425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343657766759656-0.343688709751948)×R²
    abs(-0.13489444--0.13499031)×3.0942992291505e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0942992291505e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0942992291505e-05×40589641000000     		ar = 44065.53746565m²