Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31360 / 13191
↖ ↑ ↗
← N 72.595623°
W  7.734375°		 ← 182.69 m → N 72.595623°
W  7.728882°		 →
↑
182.72 m
↓
↑
182.72 m
↓
N 72.593980°
W  7.734375°		 ← 182.71 m →
33 384 m²		 N 72.593980°
W  7.728882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478523254394531 y=0.201286315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478523254394531 × 216)
    floor (0.478523254394531 × 65536)
    floor (31360.5)     		tx = 31360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201286315917969 × 216)
    floor (0.201286315917969 × 65536)
    floor (13191.5)     		ty = 13191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31360 / 13191 ti = "16/31360/13191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31360/13191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31360 ÷ 216
    31360 ÷ 65536     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13191 ÷ 216
    13191 ÷ 65536     		y = 0.201278686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201278686523438 × 2 - 1) × π
    0.597442626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87692136772368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87692136772368))-π/2
    2×atan(6.53336005573605)-π/2
    2×1.41891448112688-π/2
    2.83782896225376-1.57079632675     		φ = 1.26703264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26703264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.595623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31360 KachelY 13191 -0.13499031 1.26703264 -7.734375 72.595623
    Oben rechts KachelX + 1 31361 KachelY 13191 -0.13489444 1.26703264 -7.728882 72.595623
    Unten links KachelX 31360 KachelY + 1 13192 -0.13499031 1.26700396 -7.734375 72.593980
    Unten rechts KachelX + 1 31361 KachelY + 1 13192 -0.13489444 1.26700396 -7.728882 72.593980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26703264-1.26700396) × R
    2.86800000000031e-05 × 6371000     		dl = 182.72028000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26703264-1.26700396) × R
    2.86800000000031e-05 × 6371000     		dr = 182.72028000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.13489444) × cos(1.26703264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.299113692431987 × 6371000     		do = 182.694985176995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.13489444) × cos(1.26700396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29914105926629 × 6371000     		du = 182.711700504691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26703264)-sin(1.26700396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299113692431987-0.29914105926629)×R²
    abs(-0.13489444--0.13499031)×2.73668343037103e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.73668343037103e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.73668343037103e-05×40589641000000     		ar = 33383.6059633094m²