Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31360 / 13140
↖ ↑ ↗
← N 72.679224°
W  7.734375°		 ← 181.84 m → N 72.679224°
W  7.728882°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
N 72.677589°
W  7.734375°		 ← 181.86 m →
33 066 m²		 N 72.677589°
W  7.728882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478523254394531 y=0.200508117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478523254394531 × 216)
    floor (0.478523254394531 × 65536)
    floor (31360.5)     		tx = 31360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200508117675781 × 216)
    floor (0.200508117675781 × 65536)
    floor (13140.5)     		ty = 13140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31360 / 13140 ti = "16/31360/13140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31360/13140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31360 ÷ 216
    31360 ÷ 65536     		x = 0.478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13140 ÷ 216
    13140 ÷ 65536     		y = 0.20050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478515625 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20050048828125 × 2 - 1) × π
    0.5989990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.88181093148492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13499031} λ = -0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88181093148492))-π/2
    2×atan(6.56538356299301)-π/2
    2×1.41964404532325-π/2
    2.83928809064649-1.57079632675     		φ = 1.26849176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26849176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.679224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31360 KachelY 13140 -0.13499031 1.26849176 -7.734375 72.679224
    Oben rechts KachelX + 1 31361 KachelY 13140 -0.13489444 1.26849176 -7.728882 72.679224
    Unten links KachelX 31360 KachelY + 1 13141 -0.13499031 1.26846322 -7.734375 72.677589
    Unten rechts KachelX + 1 31361 KachelY + 1 13141 -0.13489444 1.26846322 -7.728882 72.677589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26849176-1.26846322) × R
    2.85400000001879e-05 × 6371000     		dl = 181.828340001197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26849176-1.26846322) × R
    2.85400000001879e-05 × 6371000     		dr = 181.828340001197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13499031--0.13489444) × cos(1.26849176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.297721056705591 × 6371000     		do = 181.844380307247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13499031--0.13489444) × cos(1.26846322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.297748302378295 × 6371000     		du = 181.86102163092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26849176)-sin(1.26846322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297721056705591-0.297748302378295)×R²
    abs(-0.13489444--0.13499031)×2.72456727039572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72456727039572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72456727039572e-05×40589641000000     		ar = 33065.9747442098m²