Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31359 / 13139
↖ ↑ ↗
← N 72.680860°
W  7.739868°		 ← 181.83 m → N 72.680860°
W  7.734375°		 →
↑
181.89 m
↓
↑
181.89 m
↓
N 72.679224°
W  7.739868°		 ← 181.84 m →
33 075 m²		 N 72.679224°
W  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478507995605469 y=0.200492858886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478507995605469 × 216)
    floor (0.478507995605469 × 65536)
    floor (31359.5)     		tx = 31359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200492858886719 × 216)
    floor (0.200492858886719 × 65536)
    floor (13139.5)     		ty = 13139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31359 / 13139 ti = "16/31359/13139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31359/13139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31359 ÷ 216
    31359 ÷ 65536     		x = 0.478500366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13139 ÷ 216
    13139 ÷ 65536     		y = 0.200485229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478500366210938 × 2 - 1) × π
    -0.042999267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13508618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200485229492188 × 2 - 1) × π
    0.599029541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88190680528416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13508618} λ = -0.13508618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88190680528416))-π/2
    2×atan(6.56601304143343)-π/2
    2×1.41965831649437-π/2
    2.83931663298875-1.57079632675     		φ = 1.26852031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13508618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.739868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26852031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.680860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31359 KachelY 13139 -0.13508618 1.26852031 -7.739868 72.680860
    Oben rechts KachelX + 1 31360 KachelY 13139 -0.13499031 1.26852031 -7.734375 72.680860
    Unten links KachelX 31359 KachelY + 1 13140 -0.13508618 1.26849176 -7.739868 72.679224
    Unten rechts KachelX + 1 31360 KachelY + 1 13140 -0.13499031 1.26849176 -7.734375 72.679224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26852031-1.26849176) × R
    2.8549999999905e-05 × 6371000     		dl = 181.892049999395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26852031-1.26849176) × R
    2.8549999999905e-05 × 6371000     		dr = 181.892049999395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13508618--0.13499031) × cos(1.26852031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29769380124377 × 6371000     		do = 181.827733004502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13508618--0.13499031) × cos(1.26849176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.297721056705591 × 6371000     		du = 181.844380307247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26852031)-sin(1.26849176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29769380124377-0.297721056705591)×R²
    abs(-0.13499031--0.13508618)×2.72554618209186e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72554618209186e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72554618209186e-05×40589641000000     		ar = 33074.5331113083m²