Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31358 / 19721
↖ ↑ ↗
← N 58.051725°
W  7.745362°		 ← 323.23 m → N 58.051725°
W  7.739868°		 →
↑
323.20 m
↓
↑
323.20 m
↓
N 58.048819°
W  7.745362°		 ← 323.26 m →
104 474 m²		 N 58.048819°
W  7.739868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478492736816406 y=0.300926208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478492736816406 × 216)
    floor (0.478492736816406 × 65536)
    floor (31358.5)     		tx = 31358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300926208496094 × 216)
    floor (0.300926208496094 × 65536)
    floor (19721.5)     		ty = 19721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31358 / 19721 ti = "16/31358/19721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31358/19721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31358 ÷ 216
    31358 ÷ 65536     		x = 0.478485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19721 ÷ 216
    19721 ÷ 65536     		y = 0.300918579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.04302978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13518206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300918579101562 × 2 - 1) × π
    0.398162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25086545868575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13518206} λ = -0.13518206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25086545868575))-π/2
    2×atan(3.49336501263392)-π/2
    2×1.29199503488734-π/2
    2.58399006977467-1.57079632675     		φ = 1.01319374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13518206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.745362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01319374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.051725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31358 KachelY 19721 -0.13518206 1.01319374 -7.745362 58.051725
    Oben rechts KachelX + 1 31359 KachelY 19721 -0.13508618 1.01319374 -7.739868 58.051725
    Unten links KachelX 31358 KachelY + 1 19722 -0.13518206 1.01314301 -7.745362 58.048819
    Unten rechts KachelX + 1 31359 KachelY + 1 19722 -0.13508618 1.01314301 -7.739868 58.048819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01319374-1.01314301) × R
    5.07299999998878e-05 × 6371000     		dl = 323.200829999285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01319374-1.01314301) × R
    5.07299999998878e-05 × 6371000     		dr = 323.200829999285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13518206--0.13508618) × cos(1.01319374) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.52915345275589 × 6371000     		do = 323.234169763021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13518206--0.13508618) × cos(1.01314301) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.52919649780645 × 6371000     		du = 323.260463895862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01319374)-sin(1.01314301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52915345275589-0.52919649780645)×R²
    abs(-0.13508618--0.13518206)×4.30450505605195e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.30450505605195e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.30450505605195e-05×40589641000000     		ar = 104473.801116851m²