Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31357 / 13187
↖ ↑ ↗
← N 72.602193°
W  7.750854°		 ← 182.63 m → N 72.602193°
W  7.745362°		 →
↑
182.59 m
↓
↑
182.59 m
↓
N 72.600551°
W  7.750854°		 ← 182.64 m →
33 348 m²		 N 72.600551°
W  7.745362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478477478027344 y=0.201225280761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478477478027344 × 216)
    floor (0.478477478027344 × 65536)
    floor (31357.5)     		tx = 31357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201225280761719 × 216)
    floor (0.201225280761719 × 65536)
    floor (13187.5)     		ty = 13187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31357 / 13187 ti = "16/31357/13187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31357/13187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31357 ÷ 216
    31357 ÷ 65536     		x = 0.478469848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13187 ÷ 216
    13187 ÷ 65536     		y = 0.201217651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478469848632812 × 2 - 1) × π
    -0.043060302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13527793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201217651367188 × 2 - 1) × π
    0.597564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87730486292064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13527793} λ = -0.13527793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87730486292064))-π/2
    2×atan(6.53586604842481)-π/2
    2×1.418971824967-π/2
    2.837943649934-1.57079632675     		φ = 1.26714732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13527793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.750854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26714732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.602193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31357 KachelY 13187 -0.13527793 1.26714732 -7.750854 72.602193
    Oben rechts KachelX + 1 31358 KachelY 13187 -0.13518206 1.26714732 -7.745362 72.602193
    Unten links KachelX 31357 KachelY + 1 13188 -0.13527793 1.26711866 -7.750854 72.600551
    Unten rechts KachelX + 1 31358 KachelY + 1 13188 -0.13518206 1.26711866 -7.745362 72.600551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26714732-1.26711866) × R
    2.86600000001247e-05 × 6371000     		dl = 182.592860000794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26714732-1.26711866) × R
    2.86600000001247e-05 × 6371000     		dr = 182.592860000794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13527793--0.13518206) × cos(1.26714732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.299004260804731 × 6371000     		do = 182.628145677416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13527793--0.13518206) × cos(1.26711866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.299031609537828 × 6371000     		du = 182.644849949116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26714732)-sin(1.26711866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299004260804731-0.299031609537828)×R²
    abs(-0.13518206--0.13527793)×2.7348733096455e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.7348733096455e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.7348733096455e-05×40589641000000     		ar = 33348.1204785804m²