Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31356 / 38118
↖ ↑ ↗
← S 28.178560°
W  7.756347°		 ← 538.40 m → S 28.178560°
W  7.750854°		 →
↑
538.41 m
↓
↑
538.41 m
↓
S 28.183402°
W  7.756347°		 ← 538.37 m →
289 874 m²		 S 28.183402°
W  7.750854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478462219238281 y=0.581642150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478462219238281 × 216)
    floor (0.478462219238281 × 65536)
    floor (31356.5)     		tx = 31356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581642150878906 × 216)
    floor (0.581642150878906 × 65536)
    floor (38118.5)     		ty = 38118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31356 / 38118 ti = "16/31356/38118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31356/38118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31356 ÷ 216
    31356 ÷ 65536     		x = 0.47845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38118 ÷ 216
    38118 ÷ 65536     		y = 0.581634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47845458984375 × 2 - 1) × π
    -0.0430908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13537380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581634521484375 × 2 - 1) × π
    -0.16326904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.512924825934601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13537380} λ = -0.13537380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.512924825934601))-π/2
    2×atan(0.598741799769198)-π/2
    2×0.539493839482783-π/2
    1.07898767896557-1.57079632675     		φ = -0.49180865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13537380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.756347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49180865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.178560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31356 KachelY 38118 -0.13537380 -0.49180865 -7.756347 -28.178560
    Oben rechts KachelX + 1 31357 KachelY 38118 -0.13527793 -0.49180865 -7.750854 -28.178560
    Unten links KachelX 31356 KachelY + 1 38119 -0.13537380 -0.49189316 -7.756347 -28.183402
    Unten rechts KachelX + 1 31357 KachelY + 1 38119 -0.13527793 -0.49189316 -7.750854 -28.183402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49180865--0.49189316) × R
    8.45099999999821e-05 × 6371000     		dl = 538.413209999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49180865--0.49189316) × R
    8.45099999999821e-05 × 6371000     		dr = 538.413209999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13537380--0.13527793) × cos(-0.49180865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881480218411786 × 6371000     		do = 538.397336902836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13537380--0.13527793) × cos(-0.49189316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881440307871706 × 6371000     		du = 538.372960033061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49180865)-sin(-0.49189316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881480218411786-0.881440307871706)×R²
    abs(-0.13527793--0.13537380)×3.99105400806787e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.99105400806787e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.99105400806787e-05×40589641000000     		ar = 289873.67617545m²