Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31353 / 19801
↖ ↑ ↗
← N 57.818429°
W  7.772827°		 ← 325.34 m → N 57.818429°
W  7.767334°		 →
↑
325.30 m
↓
↑
325.30 m
↓
N 57.815504°
W  7.772827°		 ← 325.37 m →
105 839 m²		 N 57.815504°
W  7.767334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478416442871094 y=0.302146911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478416442871094 × 216)
    floor (0.478416442871094 × 65536)
    floor (31353.5)     		tx = 31353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302146911621094 × 216)
    floor (0.302146911621094 × 65536)
    floor (19801.5)     		ty = 19801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31353 / 19801 ti = "16/31353/19801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31353/19801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31353 ÷ 216
    31353 ÷ 65536     		x = 0.478408813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19801 ÷ 216
    19801 ÷ 65536     		y = 0.302139282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478408813476562 × 2 - 1) × π
    -0.043182373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13566143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302139282226562 × 2 - 1) × π
    0.395721435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24319555474654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13566143} λ = -0.13566143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24319555474654))-π/2
    2×atan(3.46667372920057)-π/2
    2×1.28995914470259-π/2
    2.57991828940518-1.57079632675     		φ = 1.00912196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13566143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.772827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00912196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.818429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31353 KachelY 19801 -0.13566143 1.00912196 -7.772827 57.818429
    Oben rechts KachelX + 1 31354 KachelY 19801 -0.13556555 1.00912196 -7.767334 57.818429
    Unten links KachelX 31353 KachelY + 1 19802 -0.13566143 1.00907090 -7.772827 57.815504
    Unten rechts KachelX + 1 31354 KachelY + 1 19802 -0.13556555 1.00907090 -7.767334 57.815504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00912196-1.00907090) × R
    5.10600000001027e-05 × 6371000     		dl = 325.303260000654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00912196-1.00907090) × R
    5.10600000001027e-05 × 6371000     		dr = 325.303260000654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13566143--0.13556555) × cos(1.00912196) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.532604068491537 × 6371000     		do = 325.341983492052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13566143--0.13556555) × cos(1.00907090) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.532647283169793 × 6371000     		du = 325.368381242222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00912196)-sin(1.00907090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532604068491537-0.532647283169793)×R²
    abs(-0.13556555--0.13566143)×4.32146782564091e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.32146782564091e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.32146782564091e-05×40589641000000     		ar = 105839.101504947m²