Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31352 / 37489
↖ ↑ ↗
← S 25.090574°
W  7.778320°		 ← 553.15 m → S 25.090574°
W  7.772827°		 →
↑
553.19 m
↓
↑
553.19 m
↓
S 25.095549°
W  7.778320°		 ← 553.13 m →
305 995 m²		 S 25.095549°
W  7.772827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478401184082031 y=0.572044372558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478401184082031 × 216)
    floor (0.478401184082031 × 65536)
    floor (31352.5)     		tx = 31352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572044372558594 × 216)
    floor (0.572044372558594 × 65536)
    floor (37489.5)     		ty = 37489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31352 / 37489 ti = "16/31352/37489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31352/37489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31352 ÷ 216
    31352 ÷ 65536     		x = 0.4783935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37489 ÷ 216
    37489 ÷ 65536     		y = 0.572036743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13575730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572036743164062 × 2 - 1) × π
    -0.144073486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.45262020621257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13575730} λ = -0.13575730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.45262020621257))-π/2
    2×atan(0.635959621278974)-π/2
    2×0.566441601221165-π/2
    1.13288320244233-1.57079632675     		φ = -0.43791312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13575730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.778320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43791312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.090574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31352 KachelY 37489 -0.13575730 -0.43791312 -7.778320 -25.090574
    Oben rechts KachelX + 1 31353 KachelY 37489 -0.13566143 -0.43791312 -7.772827 -25.090574
    Unten links KachelX 31352 KachelY + 1 37490 -0.13575730 -0.43799995 -7.778320 -25.095549
    Unten rechts KachelX + 1 31353 KachelY + 1 37490 -0.13566143 -0.43799995 -7.772827 -25.095549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43791312--0.43799995) × R
    8.68300000000377e-05 × 6371000     		dl = 553.19393000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43791312--0.43799995) × R
    8.68300000000377e-05 × 6371000     		dr = 553.19393000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13575730--0.13566143) × cos(-0.43791312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905638576998774 × 6371000     		do = 553.152966871043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13575730--0.13566143) × cos(-0.43799995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905601753285907 × 6371000     		du = 553.130475397577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43791312)-sin(-0.43799995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905638576998774-0.905601753285907)×R²
    abs(-0.13566143--0.13575730)×3.68237128669513e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68237128669513e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68237128669513e-05×40589641000000     		ar = 305994.64275363m²