Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31352 / 17077
↖ ↑ ↗
← N 64.949139°
W  7.778320°		 ← 258.62 m → N 64.949139°
W  7.772827°		 →
↑
258.66 m
↓
↑
258.66 m
↓
N 64.946813°
W  7.778320°		 ← 258.64 m →
66 899 m²		 N 64.946813°
W  7.772827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478401184082031 y=0.260581970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478401184082031 × 216)
    floor (0.478401184082031 × 65536)
    floor (31352.5)     		tx = 31352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260581970214844 × 216)
    floor (0.260581970214844 × 65536)
    floor (17077.5)     		ty = 17077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31352 / 17077 ti = "16/31352/17077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31352/17077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31352 ÷ 216
    31352 ÷ 65536     		x = 0.4783935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17077 ÷ 216
    17077 ÷ 65536     		y = 0.260574340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13575730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260574340820312 × 2 - 1) × π
    0.478851318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.5043557838766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13575730} λ = -0.13575730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5043557838766))-π/2
    2×atan(4.50125291634126)-π/2
    2×1.35218632605036-π/2
    2.70437265210072-1.57079632675     		φ = 1.13357633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13575730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.778320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13357633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.949139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31352 KachelY 17077 -0.13575730 1.13357633 -7.778320 64.949139
    Oben rechts KachelX + 1 31353 KachelY 17077 -0.13566143 1.13357633 -7.772827 64.949139
    Unten links KachelX 31352 KachelY + 1 17078 -0.13575730 1.13353573 -7.778320 64.946813
    Unten rechts KachelX + 1 31353 KachelY + 1 17078 -0.13566143 1.13353573 -7.772827 64.946813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13357633-1.13353573) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dl = 258.662599999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13357633-1.13353573) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dr = 258.662599999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13575730--0.13566143) × cos(1.13357633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423422609864177 × 6371000     		do = 258.621351646515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13575730--0.13566143) × cos(1.13353573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423459390365703 × 6371000     		du = 258.643816727021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13357633)-sin(1.13353573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423422609864177-0.423459390365703)×R²
    abs(-0.13566143--0.13575730)×3.67805015256129e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67805015256129e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67805015256129e-05×40589641000000     		ar = 66898.5766795927m²