Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31351 / 19671
↖ ↑ ↗
← N 58.196767°
W  7.783813°		 ← 321.89 m → N 58.196767°
W  7.778320°		 →
↑
321.93 m
↓
↑
321.93 m
↓
N 58.193871°
W  7.783813°		 ← 321.91 m →
103 628 m²		 N 58.193871°
W  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478385925292969 y=0.300163269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478385925292969 × 216)
    floor (0.478385925292969 × 65536)
    floor (31351.5)     		tx = 31351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300163269042969 × 216)
    floor (0.300163269042969 × 65536)
    floor (19671.5)     		ty = 19671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31351 / 19671 ti = "16/31351/19671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31351/19671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31351 ÷ 216
    31351 ÷ 65536     		x = 0.478378295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19671 ÷ 216
    19671 ÷ 65536     		y = 0.300155639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478378295898438 × 2 - 1) × π
    -0.043243408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13585317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300155639648438 × 2 - 1) × π
    0.399688720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25565914864775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13585317} λ = -0.13585317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25565914864775))-π/2
    2×atan(3.51015132346846)-π/2
    2×1.29326075637142-π/2
    2.58652151274284-1.57079632675     		φ = 1.01572519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13585317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.783813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01572519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.196767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31351 KachelY 19671 -0.13585317 1.01572519 -7.783813 58.196767
    Oben rechts KachelX + 1 31352 KachelY 19671 -0.13575730 1.01572519 -7.778320 58.196767
    Unten links KachelX 31351 KachelY + 1 19672 -0.13585317 1.01567466 -7.783813 58.193871
    Unten rechts KachelX + 1 31352 KachelY + 1 19672 -0.13575730 1.01567466 -7.778320 58.193871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01572519-1.01567466) × R
    5.05299999999931e-05 × 6371000     		dl = 321.926629999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01572519-1.01567466) × R
    5.05299999999931e-05 × 6371000     		dr = 321.926629999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13585317--0.13575730) × cos(1.01572519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527003758063269 × 6371000     		do = 321.887450169077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13585317--0.13575730) × cos(1.01567466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527046700965475 × 6371000     		du = 321.913679168552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01572519)-sin(1.01567466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527003758063269-0.527046700965475)×R²
    abs(-0.13575730--0.13585317)×4.29429022056338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29429022056338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29429022056338e-05×40589641000000     		ar = 103628.364001191m²