Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3135 / 7191
↖ ↑ ↗
← N 21.473517°
W111.115723°		 ← 2 273.62 m → N 21.473517°
W111.093750°		 →
↑
2 273.81 m
↓
↑
2 273.81 m
↓
N 21.453069°
W111.115723°		 ← 2 273.94 m →
5 170 151 m²		 N 21.453069°
W111.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.191375732421875 y=0.438934326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.191375732421875 × 214)
    floor (0.191375732421875 × 16384)
    floor (3135.5)     		tx = 3135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438934326171875 × 214)
    floor (0.438934326171875 × 16384)
    floor (7191.5)     		ty = 7191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3135 / 7191 ti = "14/3135/7191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3135/7191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3135 ÷ 214
    3135 ÷ 16384     		x = 0.19134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7191 ÷ 214
    7191 ÷ 16384     		y = 0.43890380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.6173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.93933521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43890380859375 × 2 - 1) × π
    0.1221923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.38387869215741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.93933521} λ = -1.93933521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38387869215741))-π/2
    2×atan(1.46796735492773)-π/2
    2×0.972789954863186-π/2
    1.94557990972637-1.57079632675     		φ = 0.37478358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.93933521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.115723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37478358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.473517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3135 KachelY 7191 -1.93933521 0.37478358 -111.115723 21.473517
    Oben rechts KachelX + 1 3136 KachelY 7191 -1.93895172 0.37478358 -111.093750 21.473517
    Unten links KachelX 3135 KachelY + 1 7192 -1.93933521 0.37442668 -111.115723 21.453069
    Unten rechts KachelX + 1 3136 KachelY + 1 7192 -1.93895172 0.37442668 -111.093750 21.453069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37478358-0.37442668) × R
    0.000356899999999993 × 6371000     		dl = 2273.80989999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37478358-0.37442668) × R
    0.000356899999999993 × 6371000     		dr = 2273.80989999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.93933521--1.93895172) × cos(0.37478358) × R
    0.000383490000000153 × 0.930586868821061 × 6371000     		do = 2273.62360128431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.93933521--1.93895172) × cos(0.37442668) × R
    0.000383490000000153 × 0.930717460340206 × 6371000     		du = 2273.94266441534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37478358)-sin(0.37442668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930586868821061-0.930717460340206)×R²
    abs(-1.93895172--1.93933521)×0.000130591519145296×R²
    0.000383490000000153×0.000130591519145296×6371000²
    0.000383490000000153×0.000130591519145296×40589641000000     		ar = 5170150.65280646m²