Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3135 / 3189
↖ ↑ ↗
← S 70.289116°
E 95.537110°		 ← 3 296.18 m → S 70.289116°
E 95.625000°		 →
↑
3 293.81 m
↓
↑
3 293.81 m
↓
S 70.318738°
E 95.537110°		 ← 3 291.42 m →
10 849 131 m²		 S 70.318738°
E 95.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7655029296875 y=0.7786865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7655029296875 × 212)
    floor (0.7655029296875 × 4096)
    floor (3135.5)     		tx = 3135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7786865234375 × 212)
    floor (0.7786865234375 × 4096)
    floor (3189.5)     		ty = 3189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3135 / 3189 ti = "12/3135/3189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3135/3189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3135 ÷ 212
    3135 ÷ 4096     		x = 0.765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3189 ÷ 212
    3189 ÷ 4096     		y = 0.778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765380859375 × 2 - 1) × π
    0.53076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66743712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.55712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75027207892749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66743712} λ = 1.66743712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75027207892749))-π/2
    2×atan(0.173726669653679)-π/2
    2×0.172009906533861-π/2
    0.344019813067722-1.57079632675     		φ = -1.22677651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66743712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.537110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22677651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.289116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3135 KachelY 3189 1.66743712 -1.22677651 95.537110 -70.289116
    Oben rechts KachelX + 1 3136 KachelY 3189 1.66897110 -1.22677651 95.625000 -70.289116
    Unten links KachelX 3135 KachelY + 1 3190 1.66743712 -1.22729351 95.537110 -70.318738
    Unten rechts KachelX + 1 3136 KachelY + 1 3190 1.66897110 -1.22729351 95.625000 -70.318738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22677651--1.22729351) × R
    0.000516999999999879 × 6371000     		dl = 3293.80699999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22677651--1.22729351) × R
    0.000516999999999879 × 6371000     		dr = 3293.80699999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66743712-1.66897110) × cos(-1.22677651) × R
    0.00153398000000005 × 0.337274088579359 × 6371000     		do = 3296.1751414679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66743712-1.66897110) × cos(-1.22729351) × R
    0.00153398000000005 × 0.336787336368205 × 6371000     		du = 3291.41811864051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22677651)-sin(-1.22729351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337274088579359-0.336787336368205)×R²
    abs(1.66897110-1.66743712)×0.000486752211153574×R²
    0.00153398000000005×0.000486752211153574×6371000²
    0.00153398000000005×0.000486752211153574×40589641000000     		ar = 10849130.6383013m²