Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3135 / 3169
↖ ↑ ↗
← S 69.687618°
E 95.537110°		 ← 3 392.58 m → S 69.687618°
E 95.625000°		 →
↑
3 390.14 m
↓
↑
3 390.14 m
↓
S 69.718107°
E 95.537110°		 ← 3 387.70 m →
11 493 036 m²		 S 69.718107°
E 95.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7655029296875 y=0.7738037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7655029296875 × 212)
    floor (0.7655029296875 × 4096)
    floor (3135.5)     		tx = 3135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7738037109375 × 212)
    floor (0.7738037109375 × 4096)
    floor (3169.5)     		ty = 3169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3135 / 3169 ti = "12/3135/3169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3135/3169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3135 ÷ 212
    3135 ÷ 4096     		x = 0.765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3169 ÷ 212
    3169 ÷ 4096     		y = 0.773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765380859375 × 2 - 1) × π
    0.53076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66743712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.54736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71959246317065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66743712} λ = 1.66743712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71959246317065))-π/2
    2×atan(0.179139138833891)-π/2
    2×0.17725896865129-π/2
    0.354517937302581-1.57079632675     		φ = -1.21627839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66743712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.537110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21627839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.687618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3135 KachelY 3169 1.66743712 -1.21627839 95.537110 -69.687618
    Oben rechts KachelX + 1 3136 KachelY 3169 1.66897110 -1.21627839 95.625000 -69.687618
    Unten links KachelX 3135 KachelY + 1 3170 1.66743712 -1.21681051 95.537110 -69.718107
    Unten rechts KachelX + 1 3136 KachelY + 1 3170 1.66897110 -1.21681051 95.625000 -69.718107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21627839--1.21681051) × R
    0.000532119999999914 × 6371000     		dl = 3390.13651999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21627839--1.21681051) × R
    0.000532119999999914 × 6371000     		dr = 3390.13651999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66743712-1.66897110) × cos(-1.21627839) × R
    0.00153398000000005 × 0.347138319994255 × 6371000     		do = 3392.5781427077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66743712-1.66897110) × cos(-1.21681051) × R
    0.00153398000000005 × 0.346639241317444 × 6371000     		du = 3387.70065349687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21627839)-sin(-1.21681051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347138319994255-0.346639241317444)×R²
    abs(1.66897110-1.66743712)×0.000499078676811149×R²
    0.00153398000000005×0.000499078676811149×6371000²
    0.00153398000000005×0.000499078676811149×40589641000000     		ar = 11493035.6525815m²