Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31349 / 17019
↖ ↑ ↗
← N 65.083704°
W  7.794800°		 ← 257.32 m → N 65.083704°
W  7.789307°		 →
↑
257.32 m
↓
↑
257.32 m
↓
N 65.081390°
W  7.794800°		 ← 257.34 m →
66 218 m²		 N 65.081390°
W  7.789307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478355407714844 y=0.259696960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478355407714844 × 216)
    floor (0.478355407714844 × 65536)
    floor (31349.5)     		tx = 31349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259696960449219 × 216)
    floor (0.259696960449219 × 65536)
    floor (17019.5)     		ty = 17019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31349 / 17019 ti = "16/31349/17019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31349/17019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31349 ÷ 216
    31349 ÷ 65536     		x = 0.478347778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17019 ÷ 216
    17019 ÷ 65536     		y = 0.259689331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478347778320312 × 2 - 1) × π
    -0.043304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13604492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259689331054688 × 2 - 1) × π
    0.480621337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50991646423253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13604492} λ = -0.13604492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50991646423253))-π/2
    2×atan(4.52635266617705)-π/2
    2×1.35336062356914-π/2
    2.70672124713829-1.57079632675     		φ = 1.13592492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13604492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.794800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13592492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.083704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31349 KachelY 17019 -0.13604492 1.13592492 -7.794800 65.083704
    Oben rechts KachelX + 1 31350 KachelY 17019 -0.13594905 1.13592492 -7.789307 65.083704
    Unten links KachelX 31349 KachelY + 1 17020 -0.13604492 1.13588453 -7.794800 65.081390
    Unten rechts KachelX + 1 31350 KachelY + 1 17020 -0.13594905 1.13588453 -7.789307 65.081390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13592492-1.13588453) × R
    4.03899999998902e-05 × 6371000     		dl = 257.324689999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13592492-1.13588453) × R
    4.03899999998902e-05 × 6371000     		dr = 257.324689999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13604492--0.13594905) × cos(1.13592492) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.421293780557352 × 6371000     		do = 257.321088741563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13604492--0.13594905) × cos(1.13588453) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.421330410883163 × 6371000     		du = 257.34346209658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13592492)-sin(1.13588453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421293780557352-0.421330410883163)×R²
    abs(-0.13594905--0.13604492)×3.66303258111378e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.66303258111378e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.66303258111378e-05×40589641000000     		ar = 66217.9480081575m²