Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31348 / 13204
↖ ↑ ↗
← N 72.574250°
W  7.800293°		 ← 182.91 m → N 72.574250°
W  7.794800°		 →
↑
182.91 m
↓
↑
182.91 m
↓
N 72.572605°
W  7.800293°		 ← 182.93 m →
33 458 m²		 N 72.572605°
W  7.794800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478340148925781 y=0.201484680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478340148925781 × 216)
    floor (0.478340148925781 × 65536)
    floor (31348.5)     		tx = 31348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201484680175781 × 216)
    floor (0.201484680175781 × 65536)
    floor (13204.5)     		ty = 13204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31348 / 13204 ti = "16/31348/13204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31348/13204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31348 ÷ 216
    31348 ÷ 65536     		x = 0.47833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13204 ÷ 216
    13204 ÷ 65536     		y = 0.20147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.0433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13614079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20147705078125 × 2 - 1) × π
    0.5970458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87567500833356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13614079} λ = -0.13614079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87567500833356))-π/2
    2×atan(6.52522221347305)-π/2
    2×1.4187279686614-π/2
    2.8374559373228-1.57079632675     		φ = 1.26665961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13614079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.800293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26665961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.574250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31348 KachelY 13204 -0.13614079 1.26665961 -7.800293 72.574250
    Oben rechts KachelX + 1 31349 KachelY 13204 -0.13604492 1.26665961 -7.794800 72.574250
    Unten links KachelX 31348 KachelY + 1 13205 -0.13614079 1.26663090 -7.800293 72.572605
    Unten rechts KachelX + 1 31349 KachelY + 1 13205 -0.13604492 1.26663090 -7.794800 72.572605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26665961-1.26663090) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dl = 182.911410000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26665961-1.26663090) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dr = 182.911410000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13614079--0.13604492) × cos(1.26665961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.299469623359227 × 6371000     		do = 182.912383434318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13614079--0.13604492) × cos(1.26663090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29949701561433 × 6371000     		du = 182.929114288728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26665961)-sin(1.26663090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299469623359227-0.29949701561433)×R²
    abs(-0.13604492--0.13614079)×2.73922551026762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.73922551026762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.73922551026762e-05×40589641000000     		ar = 33458.2920945624m²