Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31347 / 37490
↖ ↑ ↗
← S 25.095549°
W  7.805786°		 ← 553.19 m → S 25.095549°
W  7.800293°		 →
↑
553.13 m
↓
↑
553.13 m
↓
S 25.100523°
W  7.805786°		 ← 553.17 m →
305 979 m²		 S 25.100523°
W  7.800293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478324890136719 y=0.572059631347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478324890136719 × 216)
    floor (0.478324890136719 × 65536)
    floor (31347.5)     		tx = 31347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572059631347656 × 216)
    floor (0.572059631347656 × 65536)
    floor (37490.5)     		ty = 37490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31347 / 37490 ti = "16/31347/37490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31347/37490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31347 ÷ 216
    31347 ÷ 65536     		x = 0.478317260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37490 ÷ 216
    37490 ÷ 65536     		y = 0.572052001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478317260742188 × 2 - 1) × π
    -0.043365478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13623667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.14410400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.45271608001181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13623667} λ = -0.13623667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.45271608001181))-π/2
    2×atan(0.635898652336628)-π/2
    2×0.566398188598233-π/2
    1.13279637719647-1.57079632675     		φ = -0.43799995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13623667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.805786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43799995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.095549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31347 KachelY 37490 -0.13623667 -0.43799995 -7.805786 -25.095549
    Oben rechts KachelX + 1 31348 KachelY 37490 -0.13614079 -0.43799995 -7.800293 -25.095549
    Unten links KachelX 31347 KachelY + 1 37491 -0.13623667 -0.43808677 -7.805786 -25.100523
    Unten rechts KachelX + 1 31348 KachelY + 1 37491 -0.13614079 -0.43808677 -7.800293 -25.100523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43799995--0.43808677) × R
    8.68199999999875e-05 × 6371000     		dl = 553.13021999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43799995--0.43808677) × R
    8.68199999999875e-05 × 6371000     		dr = 553.13021999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13623667--0.13614079) × cos(-0.43799995) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.905601753285907 × 6371000     		do = 553.188171285249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13623667--0.13614079) × cos(-0.43808677) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.905564926987379 × 6371000     		du = 553.16567588629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43799995)-sin(-0.43808677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905601753285907-0.905564926987379)×R²
    abs(-0.13614079--0.13623667)×3.6826298528192e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.6826298528192e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.6826298528192e-05×40589641000000     		ar = 305978.873634012m²