Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31347 / 19717
↖ ↑ ↗
← N 58.063350°
W  7.805786°		 ← 323.13 m → N 58.063350°
W  7.800293°		 →
↑
323.14 m
↓
↑
323.14 m
↓
N 58.060444°
W  7.805786°		 ← 323.16 m →
104 419 m²		 N 58.060444°
W  7.800293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478324890136719 y=0.300865173339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478324890136719 × 216)
    floor (0.478324890136719 × 65536)
    floor (31347.5)     		tx = 31347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300865173339844 × 216)
    floor (0.300865173339844 × 65536)
    floor (19717.5)     		ty = 19717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31347 / 19717 ti = "16/31347/19717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31347/19717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31347 ÷ 216
    31347 ÷ 65536     		x = 0.478317260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19717 ÷ 216
    19717 ÷ 65536     		y = 0.300857543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478317260742188 × 2 - 1) × π
    -0.043365478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13623667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300857543945312 × 2 - 1) × π
    0.398284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25124895388271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13623667} λ = -0.13623667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25124895388271))-π/2
    2×atan(3.49470495825243)-π/2
    2×1.29209648228327-π/2
    2.58419296456655-1.57079632675     		φ = 1.01339664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13623667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.805786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01339664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.063350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31347 KachelY 19717 -0.13623667 1.01339664 -7.805786 58.063350
    Oben rechts KachelX + 1 31348 KachelY 19717 -0.13614079 1.01339664 -7.800293 58.063350
    Unten links KachelX 31347 KachelY + 1 19718 -0.13623667 1.01334592 -7.805786 58.060444
    Unten rechts KachelX + 1 31348 KachelY + 1 19718 -0.13614079 1.01334592 -7.800293 58.060444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01339664-1.01334592) × R
    5.07200000001706e-05 × 6371000     		dl = 323.137120001087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01339664-1.01334592) × R
    5.07200000001706e-05 × 6371000     		dr = 323.137120001087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13623667--0.13614079) × cos(1.01339664) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.528981275909487 × 6371000     		do = 323.128995281574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13623667--0.13614079) × cos(1.01334592) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.529024317919955 × 6371000     		du = 323.15528755737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01339664)-sin(1.01334592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528981275909487-0.529024317919955)×R²
    abs(-0.13614079--0.13623667)×4.30420104680085e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.30420104680085e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.30420104680085e-05×40589641000000     		ar = 104419.220951838m²