Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31346 / 17406
↖ ↑ ↗
← N 64.172893°
W  7.811279°		 ← 266.09 m → N 64.172893°
W  7.805786°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
N 64.170500°
W  7.811279°		 ← 266.12 m →
70 815 m²		 N 64.170500°
W  7.805786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478309631347656 y=0.265602111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478309631347656 × 216)
    floor (0.478309631347656 × 65536)
    floor (31346.5)     		tx = 31346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265602111816406 × 216)
    floor (0.265602111816406 × 65536)
    floor (17406.5)     		ty = 17406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31346 / 17406 ti = "16/31346/17406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31346/17406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31346 ÷ 216
    31346 ÷ 65536     		x = 0.478302001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17406 ÷ 216
    17406 ÷ 65536     		y = 0.265594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478302001953125 × 2 - 1) × π
    -0.04339599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13633254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265594482421875 × 2 - 1) × π
    0.46881103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.47281330392661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13633254} λ = -0.13633254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47281330392661))-π/2
    2×atan(4.36148808891446)-π/2
    2×1.34541230515434-π/2
    2.69082461030868-1.57079632675     		φ = 1.12002828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13633254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.811279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12002828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.172893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31346 KachelY 17406 -0.13633254 1.12002828 -7.811279 64.172893
    Oben rechts KachelX + 1 31347 KachelY 17406 -0.13623667 1.12002828 -7.805786 64.172893
    Unten links KachelX 31346 KachelY + 1 17407 -0.13633254 1.11998651 -7.811279 64.170500
    Unten rechts KachelX + 1 31347 KachelY + 1 17407 -0.13623667 1.11998651 -7.805786 64.170500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12002828-1.11998651) × R
    4.17700000001631e-05 × 6371000     		dl = 266.116670001039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12002828-1.11998651) × R
    4.17700000001631e-05 × 6371000     		dr = 266.116670001039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13633254--0.13623667) × cos(1.12002828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43565699126199 × 6371000     		do = 266.093962177815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13633254--0.13623667) × cos(1.11998651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435694588592034 × 6371000     		du = 266.11692616719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12002828)-sin(1.11998651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43565699126199-0.435694588592034)×R²
    abs(-0.13623667--0.13633254)×3.75973300436594e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75973300436594e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75973300436594e-05×40589641000000     		ar = 70815.0946825677m²