Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31346 / 13752
↖ ↑ ↗
← N 71.649833°
W  7.811279°		 ← 192.29 m → N 71.649833°
W  7.805786°		 →
↑
192.28 m
↓
↑
192.28 m
↓
N 71.648104°
W  7.811279°		 ← 192.31 m →
36 975 m²		 N 71.648104°
W  7.805786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478309631347656 y=0.209846496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478309631347656 × 216)
    floor (0.478309631347656 × 65536)
    floor (31346.5)     		tx = 31346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209846496582031 × 216)
    floor (0.209846496582031 × 65536)
    floor (13752.5)     		ty = 13752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31346 / 13752 ti = "16/31346/13752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31346/13752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31346 ÷ 216
    31346 ÷ 65536     		x = 0.478302001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13752 ÷ 216
    13752 ÷ 65536     		y = 0.2098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478302001953125 × 2 - 1) × π
    -0.04339599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13633254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2098388671875 × 2 - 1) × π
    0.580322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82313616634998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13633254} λ = -0.13633254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82313616634998))-π/2
    2×atan(6.19124480820359)-π/2
    2×1.41066091007092-π/2
    2.82132182014183-1.57079632675     		φ = 1.25052549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13633254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.811279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25052549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.649833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31346 KachelY 13752 -0.13633254 1.25052549 -7.811279 71.649833
    Oben rechts KachelX + 1 31347 KachelY 13752 -0.13623667 1.25052549 -7.805786 71.649833
    Unten links KachelX 31346 KachelY + 1 13753 -0.13633254 1.25049531 -7.811279 71.648104
    Unten rechts KachelX + 1 31347 KachelY + 1 13753 -0.13623667 1.25049531 -7.805786 71.648104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25052549-1.25049531) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dl = 192.276779999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25052549-1.25049531) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dr = 192.276779999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13633254--0.13623667) × cos(1.25052549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314823636954078 × 6371000     		do = 192.290427158467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13633254--0.13623667) × cos(1.25049531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314852282163343 × 6371000     		du = 192.307923301955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25052549)-sin(1.25049531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314823636954078-0.314852282163343)×R²
    abs(-0.13623667--0.13633254)×2.86452092655987e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.86452092655987e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.86452092655987e-05×40589641000000     		ar = 36974.6662123884m²