Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31345 / 19665
↖ ↑ ↗
← N 58.214132°
W  7.816773°		 ← 321.76 m → N 58.214132°
W  7.811279°		 →
↑
321.80 m
↓
↑
321.80 m
↓
N 58.211238°
W  7.816773°		 ← 321.79 m →
103 548 m²		 N 58.211238°
W  7.811279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478294372558594 y=0.300071716308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478294372558594 × 216)
    floor (0.478294372558594 × 65536)
    floor (31345.5)     		tx = 31345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300071716308594 × 216)
    floor (0.300071716308594 × 65536)
    floor (19665.5)     		ty = 19665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31345 / 19665 ti = "16/31345/19665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31345/19665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31345 ÷ 216
    31345 ÷ 65536     		x = 0.478286743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19665 ÷ 216
    19665 ÷ 65536     		y = 0.300064086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478286743164062 × 2 - 1) × π
    -0.043426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13642842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300064086914062 × 2 - 1) × π
    0.399871826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25623439144319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13642842} λ = -0.13642842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25623439144319))-π/2
    2×atan(3.5121710936016)-π/2
    2×1.29341229688219-π/2
    2.58682459376439-1.57079632675     		φ = 1.01602827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13642842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.816773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01602827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.214132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31345 KachelY 19665 -0.13642842 1.01602827 -7.816773 58.214132
    Oben rechts KachelX + 1 31346 KachelY 19665 -0.13633254 1.01602827 -7.811279 58.214132
    Unten links KachelX 31345 KachelY + 1 19666 -0.13642842 1.01597776 -7.816773 58.211238
    Unten rechts KachelX + 1 31346 KachelY + 1 19666 -0.13633254 1.01597776 -7.811279 58.211238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01602827-1.01597776) × R
    5.05100000001146e-05 × 6371000     		dl = 321.79921000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01602827-1.01597776) × R
    5.05100000001146e-05 × 6371000     		dr = 321.79921000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13642842--0.13633254) × cos(1.01602827) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.526746157398778 × 6371000     		do = 321.763669831332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13642842--0.13633254) × cos(1.01597776) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.526789091370289 × 6371000     		du = 321.789896111371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01602827)-sin(1.01597776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526746157398778-0.526789091370289)×R²
    abs(-0.13633254--0.13642842)×4.29339715104504e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29339715104504e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29339715104504e-05×40589641000000     		ar = 103547.514578848m²