Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31345 / 14385
↖ ↑ ↗
← N 70.523066°
W  7.816773°		 ← 203.67 m → N 70.523066°
W  7.811279°		 →
↑
203.68 m
↓
↑
203.68 m
↓
N 70.521234°
W  7.816773°		 ← 203.69 m →
41 486 m²		 N 70.521234°
W  7.811279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478294372558594 y=0.219505310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478294372558594 × 216)
    floor (0.478294372558594 × 65536)
    floor (31345.5)     		tx = 31345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219505310058594 × 216)
    floor (0.219505310058594 × 65536)
    floor (14385.5)     		ty = 14385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31345 / 14385 ti = "16/31345/14385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31345/14385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31345 ÷ 216
    31345 ÷ 65536     		x = 0.478286743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14385 ÷ 216
    14385 ÷ 65536     		y = 0.219497680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478286743164062 × 2 - 1) × π
    -0.043426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13642842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219497680664062 × 2 - 1) × π
    0.561004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76244805143098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13642842} λ = -0.13642842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76244805143098))-π/2
    2×atan(5.82668397114483)-π/2
    2×1.40082801126947-π/2
    2.80165602253895-1.57079632675     		φ = 1.23085970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13642842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.816773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23085970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.523066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31345 KachelY 14385 -0.13642842 1.23085970 -7.816773 70.523066
    Oben rechts KachelX + 1 31346 KachelY 14385 -0.13633254 1.23085970 -7.811279 70.523066
    Unten links KachelX 31345 KachelY + 1 14386 -0.13642842 1.23082773 -7.816773 70.521234
    Unten rechts KachelX + 1 31346 KachelY + 1 14386 -0.13633254 1.23082773 -7.811279 70.521234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23085970-1.23082773) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dl = 203.680869999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23085970-1.23082773) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dr = 203.680869999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13642842--0.13633254) × cos(1.23085970) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.333427346086405 × 6371000     		do = 203.674587829337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13642842--0.13633254) × cos(1.23082773) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.33345748645826 × 6371000     		du = 203.692999120092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23085970)-sin(1.23082773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333427346086405-0.33345748645826)×R²
    abs(-0.13633254--0.13642842)×3.01403718550586e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.01403718550586e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.01403718550586e-05×40589641000000     		ar = 41486.4922634554m²