Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31344 / 17391
↖ ↑ ↗
← N 64.208767°
W  7.822266°		 ← 265.75 m → N 64.208767°
W  7.816773°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
N 64.206377°
W  7.822266°		 ← 265.77 m →
70 639 m²		 N 64.206377°
W  7.816773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478279113769531 y=0.265373229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478279113769531 × 216)
    floor (0.478279113769531 × 65536)
    floor (31344.5)     		tx = 31344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265373229980469 × 216)
    floor (0.265373229980469 × 65536)
    floor (17391.5)     		ty = 17391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31344 / 17391 ti = "16/31344/17391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31344/17391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31344 ÷ 216
    31344 ÷ 65536     		x = 0.478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17391 ÷ 216
    17391 ÷ 65536     		y = 0.265365600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265365600585938 × 2 - 1) × π
    0.469268798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47425141091521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13652429} λ = -0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47425141091521))-π/2
    2×atan(4.36776488768814)-π/2
    2×1.34572536314948-π/2
    2.69145072629895-1.57079632675     		φ = 1.12065440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12065440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.208767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31344 KachelY 17391 -0.13652429 1.12065440 -7.822266 64.208767
    Oben rechts KachelX + 1 31345 KachelY 17391 -0.13642842 1.12065440 -7.816773 64.208767
    Unten links KachelX 31344 KachelY + 1 17392 -0.13652429 1.12061268 -7.822266 64.206377
    Unten rechts KachelX + 1 31345 KachelY + 1 17392 -0.13642842 1.12061268 -7.816773 64.206377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12065440-1.12061268) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12065440-1.12061268) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13652429--0.13642842) × cos(1.12065440) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43509332730121 × 6371000     		do = 265.74968312418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13652429--0.13642842) × cos(1.12061268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435130890999766 × 6371000     		du = 265.772626571855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12065440)-sin(1.12061268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43509332730121-0.435130890999766)×R²
    abs(-0.13642842--0.13652429)×3.75636985565087e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75636985565087e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75636985565087e-05×40589641000000     		ar = 70638.8153375576m²