Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31344 / 17072
↖ ↑ ↗
← N 64.960766°
W  7.822266°		 ← 258.51 m → N 64.960766°
W  7.816773°		 →
↑
258.54 m
↓
↑
258.54 m
↓
N 64.958441°
W  7.822266°		 ← 258.53 m →
66 837 m²		 N 64.958441°
W  7.816773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478279113769531 y=0.260505676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478279113769531 × 216)
    floor (0.478279113769531 × 65536)
    floor (31344.5)     		tx = 31344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260505676269531 × 216)
    floor (0.260505676269531 × 65536)
    floor (17072.5)     		ty = 17072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31344 / 17072 ti = "16/31344/17072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31344/17072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31344 ÷ 216
    31344 ÷ 65536     		x = 0.478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17072 ÷ 216
    17072 ÷ 65536     		y = 0.260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260498046875 × 2 - 1) × π
    0.47900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5048351528728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13652429} λ = -0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5048351528728))-π/2
    2×atan(4.50341119469794)-π/2
    2×1.35228779185275-π/2
    2.70457558370549-1.57079632675     		φ = 1.13377926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13377926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.960766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31344 KachelY 17072 -0.13652429 1.13377926 -7.822266 64.960766
    Oben rechts KachelX + 1 31345 KachelY 17072 -0.13642842 1.13377926 -7.816773 64.960766
    Unten links KachelX 31344 KachelY + 1 17073 -0.13652429 1.13373868 -7.822266 64.958441
    Unten rechts KachelX + 1 31345 KachelY + 1 17073 -0.13642842 1.13373868 -7.816773 64.958441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13377926-1.13373868) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dl = 258.535180000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13377926-1.13373868) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dr = 258.535180000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13652429--0.13642842) × cos(1.13377926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423238760309742 × 6371000     		do = 258.509058587146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13652429--0.13642842) × cos(1.13373868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423275526179203 × 6371000     		du = 258.531514730566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13377926)-sin(1.13373868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423238760309742-0.423275526179203)×R²
    abs(-0.13642842--0.13652429)×3.67658694608308e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67658694608308e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67658694608308e-05×40589641000000     		ar = 66836.5888543178m²