Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31343 / 17393
↖ ↑ ↗
← N 64.203987°
W  7.827759°		 ← 265.80 m → N 64.203987°
W  7.822266°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
N 64.201596°
W  7.827759°		 ← 265.82 m →
70 651 m²		 N 64.201596°
W  7.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478263854980469 y=0.265403747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478263854980469 × 216)
    floor (0.478263854980469 × 65536)
    floor (31343.5)     		tx = 31343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265403747558594 × 216)
    floor (0.265403747558594 × 65536)
    floor (17393.5)     		ty = 17393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31343 / 17393 ti = "16/31343/17393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31343/17393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31343 ÷ 216
    31343 ÷ 65536     		x = 0.478256225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17393 ÷ 216
    17393 ÷ 65536     		y = 0.265396118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478256225585938 × 2 - 1) × π
    -0.043487548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13662016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265396118164062 × 2 - 1) × π
    0.469207763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47405966331673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13662016} λ = -0.13662016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47405966331673))-π/2
    2×atan(4.36692745955019)-π/2
    2×1.34568364549807-π/2
    2.69136729099613-1.57079632675     		φ = 1.12057096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13662016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.827759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12057096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.203987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31343 KachelY 17393 -0.13662016 1.12057096 -7.827759 64.203987
    Oben rechts KachelX + 1 31344 KachelY 17393 -0.13652429 1.12057096 -7.822266 64.203987
    Unten links KachelX 31343 KachelY + 1 17394 -0.13662016 1.12052924 -7.827759 64.201596
    Unten rechts KachelX + 1 31344 KachelY + 1 17394 -0.13652429 1.12052924 -7.822266 64.201596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12057096-1.12052924) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12057096-1.12052924) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13662016--0.13652429) × cos(1.12057096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435168453940952 × 6371000     		do = 265.795569556936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13662016--0.13652429) × cos(1.12052924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435206016124702 × 6371000     		du = 265.818512079385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12057096)-sin(1.12052924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435168453940952-0.435206016124702)×R²
    abs(-0.13652429--0.13662016)×3.75621837496731e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75621837496731e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75621837496731e-05×40589641000000     		ar = 70651.0117423384m²