Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31343 / 17059
↖ ↑ ↗
← N 64.990973°
W  7.827759°		 ← 258.22 m → N 64.990973°
W  7.822266°		 →
↑
258.28 m
↓
↑
258.28 m
↓
N 64.988651°
W  7.827759°		 ← 258.24 m →
66 695 m²		 N 64.988651°
W  7.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478263854980469 y=0.260307312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478263854980469 × 216)
    floor (0.478263854980469 × 65536)
    floor (31343.5)     		tx = 31343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260307312011719 × 216)
    floor (0.260307312011719 × 65536)
    floor (17059.5)     		ty = 17059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31343 / 17059 ti = "16/31343/17059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31343/17059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31343 ÷ 216
    31343 ÷ 65536     		x = 0.478256225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17059 ÷ 216
    17059 ÷ 65536     		y = 0.260299682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478256225585938 × 2 - 1) × π
    -0.043487548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13662016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260299682617188 × 2 - 1) × π
    0.479400634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50608151226292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13662016} λ = -0.13662016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50608151226292))-π/2
    2×atan(4.50902756280756)-π/2
    2×1.3525513967813-π/2
    2.7051027935626-1.57079632675     		φ = 1.13430647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13662016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.827759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13430647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.990973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31343 KachelY 17059 -0.13662016 1.13430647 -7.827759 64.990973
    Oben rechts KachelX + 1 31344 KachelY 17059 -0.13652429 1.13430647 -7.822266 64.990973
    Unten links KachelX 31343 KachelY + 1 17060 -0.13662016 1.13426593 -7.827759 64.988651
    Unten rechts KachelX + 1 31344 KachelY + 1 17060 -0.13652429 1.13426593 -7.822266 64.988651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13430647-1.13426593) × R
    4.05400000000888e-05 × 6371000     		dl = 258.280340000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13430647-1.13426593) × R
    4.05400000000888e-05 × 6371000     		dr = 258.280340000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13662016--0.13652429) × cos(1.13430647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422761039664805 × 6371000     		do = 258.217272659742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13662016--0.13652429) × cos(1.13426593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422797778335434 × 6371000     		du = 258.239712190449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13430647)-sin(1.13426593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422761039664805-0.422797778335434)×R²
    abs(-0.13652429--0.13662016)×3.67386706293105e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67386706293105e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67386706293105e-05×40589641000000     		ar = 66695.3428305002m²