Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31342 / 19662
↖ ↑ ↗
← N 58.222811°
W  7.833252°		 ← 321.69 m → N 58.222811°
W  7.827759°		 →
↑
321.67 m
↓
↑
321.67 m
↓
N 58.219918°
W  7.833252°		 ← 321.71 m →
103 481 m²		 N 58.219918°
W  7.827759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478248596191406 y=0.300025939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478248596191406 × 216)
    floor (0.478248596191406 × 65536)
    floor (31342.5)     		tx = 31342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300025939941406 × 216)
    floor (0.300025939941406 × 65536)
    floor (19662.5)     		ty = 19662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31342 / 19662 ti = "16/31342/19662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31342/19662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31342 ÷ 216
    31342 ÷ 65536     		x = 0.478240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19662 ÷ 216
    19662 ÷ 65536     		y = 0.300018310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478240966796875 × 2 - 1) × π
    -0.04351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13671604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300018310546875 × 2 - 1) × π
    0.39996337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25652201284091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13671604} λ = -0.13671604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25652201284091))-π/2
    2×atan(3.51318141444856)-π/2
    2×1.29348803935598-π/2
    2.58697607871196-1.57079632675     		φ = 1.01617975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13671604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.833252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01617975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.222811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31342 KachelY 19662 -0.13671604 1.01617975 -7.833252 58.222811
    Oben rechts KachelX + 1 31343 KachelY 19662 -0.13662016 1.01617975 -7.827759 58.222811
    Unten links KachelX 31342 KachelY + 1 19663 -0.13671604 1.01612926 -7.833252 58.219918
    Unten rechts KachelX + 1 31343 KachelY + 1 19663 -0.13662016 1.01612926 -7.827759 58.219918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01617975-1.01612926) × R
    5.04900000000141e-05 × 6371000     		dl = 321.67179000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01617975-1.01612926) × R
    5.04900000000141e-05 × 6371000     		dr = 321.67179000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13671604--0.13662016) × cos(1.01617975) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.526617389926608 × 6371000     		do = 321.685012030474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13671604--0.13662016) × cos(1.01612926) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.526660310926543 × 6371000     		du = 321.711230386807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01617975)-sin(1.01612926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526617389926608-0.526660310926543)×R²
    abs(-0.13662016--0.13671604)×4.29209999345259e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.29209999345259e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.29209999345259e-05×40589641000000     		ar = 103481.210510457m²