Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31342 / 17396
↖ ↑ ↗
← N 64.196814°
W  7.833252°		 ← 265.89 m → N 64.196814°
W  7.827759°		 →
↑
265.86 m
↓
↑
265.86 m
↓
N 64.194423°
W  7.833252°		 ← 265.92 m →
70 694 m²		 N 64.194423°
W  7.827759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478248596191406 y=0.265449523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478248596191406 × 216)
    floor (0.478248596191406 × 65536)
    floor (31342.5)     		tx = 31342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265449523925781 × 216)
    floor (0.265449523925781 × 65536)
    floor (17396.5)     		ty = 17396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31342 / 17396 ti = "16/31342/17396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31342/17396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31342 ÷ 216
    31342 ÷ 65536     		x = 0.478240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17396 ÷ 216
    17396 ÷ 65536     		y = 0.26544189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478240966796875 × 2 - 1) × π
    -0.04351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13671604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26544189453125 × 2 - 1) × π
    0.4691162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47377204191901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13671604} λ = -0.13671604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47377204191901))-π/2
    2×atan(4.36567161838258)-π/2
    2×1.3456210555155-π/2
    2.691242111031-1.57079632675     		φ = 1.12044578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13671604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.833252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12044578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.196814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31342 KachelY 17396 -0.13671604 1.12044578 -7.833252 64.196814
    Oben rechts KachelX + 1 31343 KachelY 17396 -0.13662016 1.12044578 -7.827759 64.196814
    Unten links KachelX 31342 KachelY + 1 17397 -0.13671604 1.12040405 -7.833252 64.194423
    Unten rechts KachelX + 1 31343 KachelY + 1 17397 -0.13662016 1.12040405 -7.827759 64.194423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12044578-1.12040405) × R
    4.17299999999621e-05 × 6371000     		dl = 265.861829999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12044578-1.12040405) × R
    4.17299999999621e-05 × 6371000     		dr = 265.861829999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13671604--0.13662016) × cos(1.12044578) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.435281156225523 × 6371000     		do = 265.892138496528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13671604--0.13662016) × cos(1.12040405) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.435318725138972 × 6371000     		du = 265.915087522911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12044578)-sin(1.12040405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435281156225523-0.435318725138972)×R²
    abs(-0.13662016--0.13671604)×3.75689134498591e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.75689134498591e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.75689134498591e-05×40589641000000     		ar = 70693.621168603m²