Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31341 / 19743
↖ ↑ ↗
← N 57.987720°
W  7.838745°		 ← 323.78 m → N 57.987720°
W  7.833252°		 →
↑
323.77 m
↓
↑
323.77 m
↓
N 57.984808°
W  7.838745°		 ← 323.81 m →
104 836 m²		 N 57.984808°
W  7.833252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478233337402344 y=0.301261901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478233337402344 × 216)
    floor (0.478233337402344 × 65536)
    floor (31341.5)     		tx = 31341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301261901855469 × 216)
    floor (0.301261901855469 × 65536)
    floor (19743.5)     		ty = 19743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31341 / 19743 ti = "16/31341/19743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31341/19743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31341 ÷ 216
    31341 ÷ 65536     		x = 0.478225708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19743 ÷ 216
    19743 ÷ 65536     		y = 0.301254272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478225708007812 × 2 - 1) × π
    -0.043548583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13681191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301254272460938 × 2 - 1) × π
    0.397491455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24875623510246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13681191} λ = -0.13681191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24875623510246))-π/2
    2×atan(3.48600448998704)-π/2
    2×1.2914364838561-π/2
    2.5828729677122-1.57079632675     		φ = 1.01207664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13681191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.838745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01207664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.987720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31341 KachelY 19743 -0.13681191 1.01207664 -7.838745 57.987720
    Oben rechts KachelX + 1 31342 KachelY 19743 -0.13671604 1.01207664 -7.833252 57.987720
    Unten links KachelX 31341 KachelY + 1 19744 -0.13681191 1.01202582 -7.838745 57.984808
    Unten rechts KachelX + 1 31342 KachelY + 1 19744 -0.13671604 1.01202582 -7.833252 57.984808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01207664-1.01202582) × R
    5.0820000000007e-05 × 6371000     		dl = 323.774220000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01207664-1.01202582) × R
    5.0820000000007e-05 × 6371000     		dr = 323.774220000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13681191--0.13671604) × cos(1.01207664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.530101010949862 × 6371000     		do = 323.779214352805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13681191--0.13671604) × cos(1.01202582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.530144102296652 × 6371000     		du = 323.805534020417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01207664)-sin(1.01202582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530101010949862-0.530144102296652)×R²
    abs(-0.13671604--0.13681191)×4.30913467897032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30913467897032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30913467897032e-05×40589641000000     		ar = 104835.623416507m²