Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31341 / 17060
↖ ↑ ↗
← N 64.988651°
W  7.838745°		 ← 258.24 m → N 64.988651°
W  7.833252°		 →
↑
258.22 m
↓
↑
258.22 m
↓
N 64.986328°
W  7.838745°		 ← 258.26 m →
66 685 m²		 N 64.986328°
W  7.833252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478233337402344 y=0.260322570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478233337402344 × 216)
    floor (0.478233337402344 × 65536)
    floor (31341.5)     		tx = 31341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260322570800781 × 216)
    floor (0.260322570800781 × 65536)
    floor (17060.5)     		ty = 17060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31341 / 17060 ti = "16/31341/17060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31341/17060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31341 ÷ 216
    31341 ÷ 65536     		x = 0.478225708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17060 ÷ 216
    17060 ÷ 65536     		y = 0.26031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478225708007812 × 2 - 1) × π
    -0.043548583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13681191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26031494140625 × 2 - 1) × π
    0.4793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50598563846368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13681191} λ = -0.13681191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50598563846368))-π/2
    2×atan(4.50859528592658)-π/2
    2×1.35253113004722-π/2
    2.70506226009445-1.57079632675     		φ = 1.13426593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13681191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.838745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13426593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.988651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31341 KachelY 17060 -0.13681191 1.13426593 -7.838745 64.988651
    Oben rechts KachelX + 1 31342 KachelY 17060 -0.13671604 1.13426593 -7.833252 64.988651
    Unten links KachelX 31341 KachelY + 1 17061 -0.13681191 1.13422540 -7.838745 64.986328
    Unten rechts KachelX + 1 31342 KachelY + 1 17061 -0.13671604 1.13422540 -7.833252 64.986328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13426593-1.13422540) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dl = 258.216629999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13426593-1.13422540) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dr = 258.216629999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13681191--0.13671604) × cos(1.13426593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422797778335434 × 6371000     		do = 258.239712190449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13681191--0.13671604) × cos(1.13422540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42283450724913 × 6371000     		du = 258.262145761739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13426593)-sin(1.13422540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422797778335434-0.42283450724913)×R²
    abs(-0.13671604--0.13681191)×3.67289136954385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67289136954385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67289136954385e-05×40589641000000     		ar = 66684.6845834081m²