Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31340 / 19659
↖ ↑ ↗
← N 58.231488°
W  7.844239°		 ← 321.61 m → N 58.231488°
W  7.838745°		 →
↑
321.61 m
↓
↑
321.61 m
↓
N 58.228596°
W  7.844239°		 ← 321.63 m →
103 435 m²		 N 58.228596°
W  7.838745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478218078613281 y=0.299980163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478218078613281 × 216)
    floor (0.478218078613281 × 65536)
    floor (31340.5)     		tx = 31340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299980163574219 × 216)
    floor (0.299980163574219 × 65536)
    floor (19659.5)     		ty = 19659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31340 / 19659 ti = "16/31340/19659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31340/19659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31340 ÷ 216
    31340 ÷ 65536     		x = 0.47821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19659 ÷ 216
    19659 ÷ 65536     		y = 0.299972534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0435791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13690779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299972534179688 × 2 - 1) × π
    0.400054931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25680963423863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13690779} λ = -0.13690779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25680963423863))-π/2
    2×atan(3.51419202592721)-π/2
    2×1.29356376331241-π/2
    2.58712752662482-1.57079632675     		φ = 1.01633120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13690779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.844239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01633120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.231488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31340 KachelY 19659 -0.13690779 1.01633120 -7.844239 58.231488
    Oben rechts KachelX + 1 31341 KachelY 19659 -0.13681191 1.01633120 -7.838745 58.231488
    Unten links KachelX 31340 KachelY + 1 19660 -0.13690779 1.01628072 -7.844239 58.228596
    Unten rechts KachelX + 1 31341 KachelY + 1 19660 -0.13681191 1.01628072 -7.838745 58.228596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01633120-1.01628072) × R
    5.04800000000749e-05 × 6371000     		dl = 321.608080000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01633120-1.01628072) × R
    5.04800000000749e-05 × 6371000     		dr = 321.608080000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13690779--0.13681191) × cos(1.01633120) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.526488635876041 × 6371000     		do = 321.606362428036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13690779--0.13681191) × cos(1.01628072) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.526531552400982 × 6371000     		du = 321.632578050813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01633120)-sin(1.01628072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526488635876041-0.526531552400982)×R²
    abs(-0.13681191--0.13690779)×4.29165249413721e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29165249413721e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29165249413721e-05×40589641000000     		ar = 103435.420336303m²