Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3134 / 3116
↖ ↑ ↗
← S 68.007571°
E 95.449219°		 ← 3 659.83 m → S 68.007571°
E 95.537110°		 →
↑
3 657.21 m
↓
↑
3 657.21 m
↓
S 68.040461°
E 95.449219°		 ← 3 654.63 m →
13 375 242 m²		 S 68.040461°
E 95.537110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7652587890625 y=0.7608642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7652587890625 × 212)
    floor (0.7652587890625 × 4096)
    floor (3134.5)     		tx = 3134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7608642578125 × 212)
    floor (0.7608642578125 × 4096)
    floor (3116.5)     		ty = 3116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3134 / 3116 ti = "12/3134/3116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3134/3116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3134 ÷ 212
    3134 ÷ 4096     		x = 0.76513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3116 ÷ 212
    3116 ÷ 4096     		y = 0.7607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76513671875 × 2 - 1) × π
    0.5302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66590314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7607421875 × 2 - 1) × π
    -0.521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63829148141504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66590314} λ = 1.66590314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63829148141504))-π/2
    2×atan(0.194311744076903)-π/2
    2×0.191920148131881-π/2
    0.383840296263761-1.57079632675     		φ = -1.18695603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66590314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18695603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.007571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3134 KachelY 3116 1.66590314 -1.18695603 95.449219 -68.007571
    Oben rechts KachelX + 1 3135 KachelY 3116 1.66743712 -1.18695603 95.537110 -68.007571
    Unten links KachelX 3134 KachelY + 1 3117 1.66590314 -1.18753007 95.449219 -68.040461
    Unten rechts KachelX + 1 3135 KachelY + 1 3117 1.66743712 -1.18753007 95.537110 -68.040461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18695603--1.18753007) × R
    0.000574040000000053 × 6371000     		dl = 3657.20884000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18695603--1.18753007) × R
    0.000574040000000053 × 6371000     		dr = 3657.20884000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66590314-1.66743712) × cos(-1.18695603) × R
    0.00153398000000005 × 0.374484073328689 × 6371000     		do = 3659.82782306512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66590314-1.66743712) × cos(-1.18753007) × R
    0.00153398000000005 × 0.373951742627355 × 6371000     		du = 3654.62536226486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18695603)-sin(-1.18753007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374484073328689-0.373951742627355)×R²
    abs(1.66743712-1.66590314)×0.000532330701334682×R²
    0.00153398000000005×0.000532330701334682×6371000²
    0.00153398000000005×0.000532330701334682×40589641000000     		ar = 13375241.7918637m²