Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31339 / 38089
↖ ↑ ↗
← S 28.038047°
W  7.849731°		 ← 539.10 m → S 28.038047°
W  7.844239°		 →
↑
539.11 m
↓
↑
539.11 m
↓
S 28.042895°
W  7.849731°		 ← 539.08 m →
290 631 m²		 S 28.042895°
W  7.844239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478202819824219 y=0.581199645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478202819824219 × 216)
    floor (0.478202819824219 × 65536)
    floor (31339.5)     		tx = 31339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581199645996094 × 216)
    floor (0.581199645996094 × 65536)
    floor (38089.5)     		ty = 38089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31339 / 38089 ti = "16/31339/38089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31339/38089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31339 ÷ 216
    31339 ÷ 65536     		x = 0.478195190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38089 ÷ 216
    38089 ÷ 65536     		y = 0.581192016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478195190429688 × 2 - 1) × π
    -0.043609619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13700366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581192016601562 × 2 - 1) × π
    -0.162384033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.510144485756638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13700366} λ = -0.13700366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510144485756638))-π/2
    2×atan(0.600408822021915)-π/2
    2×0.540720050481377-π/2
    1.08144010096275-1.57079632675     		φ = -0.48935623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13700366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.849731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48935623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.038047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31339 KachelY 38089 -0.13700366 -0.48935623 -7.849731 -28.038047
    Oben rechts KachelX + 1 31340 KachelY 38089 -0.13690779 -0.48935623 -7.844239 -28.038047
    Unten links KachelX 31339 KachelY + 1 38090 -0.13700366 -0.48944085 -7.849731 -28.042895
    Unten rechts KachelX + 1 31340 KachelY + 1 38090 -0.13690779 -0.48944085 -7.844239 -28.042895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48935623--0.48944085) × R
    8.46199999999797e-05 × 6371000     		dl = 539.114019999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48935623--0.48944085) × R
    8.46199999999797e-05 × 6371000     		dr = 539.114019999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13700366--0.13690779) × cos(-0.48935623) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882635650580296 × 6371000     		do = 539.103060740426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13700366--0.13690779) × cos(-0.48944085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882595871131663 × 6371000     		du = 539.078763939704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48935623)-sin(-0.48944085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882635650580296-0.882595871131663)×R²
    abs(-0.13690779--0.13700366)×3.97794486327596e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97794486327596e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97794486327596e-05×40589641000000     		ar = 290631.469070362m²