Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31337 / 17061
↖ ↑ ↗
← N 64.986328°
W  7.860718°		 ← 258.29 m → N 64.986328°
W  7.855224°		 →
↑
258.28 m
↓
↑
258.28 m
↓
N 64.984006°
W  7.860718°		 ← 258.31 m →
66 714 m²		 N 64.984006°
W  7.855224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478172302246094 y=0.260337829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478172302246094 × 216)
    floor (0.478172302246094 × 65536)
    floor (31337.5)     		tx = 31337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260337829589844 × 216)
    floor (0.260337829589844 × 65536)
    floor (17061.5)     		ty = 17061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31337 / 17061 ti = "16/31337/17061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31337/17061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31337 ÷ 216
    31337 ÷ 65536     		x = 0.478164672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17061 ÷ 216
    17061 ÷ 65536     		y = 0.260330200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478164672851562 × 2 - 1) × π
    -0.043670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13719541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260330200195312 × 2 - 1) × π
    0.479339599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50588976466444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13719541} λ = -0.13719541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50588976466444))-π/2
    2×atan(4.50816305048764)-π/2
    2×1.35251086155223-π/2
    2.70502172310446-1.57079632675     		φ = 1.13422540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13719541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.860718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13422540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.986328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31337 KachelY 17061 -0.13719541 1.13422540 -7.860718 64.986328
    Oben rechts KachelX + 1 31338 KachelY 17061 -0.13709953 1.13422540 -7.855224 64.986328
    Unten links KachelX 31337 KachelY + 1 17062 -0.13719541 1.13418486 -7.860718 64.984006
    Unten rechts KachelX + 1 31338 KachelY + 1 17062 -0.13709953 1.13418486 -7.855224 64.984006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13422540-1.13418486) × R
    4.05400000000888e-05 × 6371000     		dl = 258.280340000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13422540-1.13418486) × R
    4.05400000000888e-05 × 6371000     		dr = 258.280340000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13719541--0.13709953) × cos(1.13422540) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.42283450724913 × 6371000     		do = 258.289084548182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13719541--0.13709953) × cos(1.13418486) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.422871244530141 × 6371000     		du = 258.311525570659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13422540)-sin(1.13418486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42283450724913-0.422871244530141)×R²
    abs(-0.13709953--0.13719541)×3.67372810111677e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.67372810111677e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.67372810111677e-05×40589641000000     		ar = 66713.8906224597m²