Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31336 / 14360
↖ ↑ ↗
← N 70.568803°
W  7.866211°		 ← 203.19 m → N 70.568803°
W  7.860718°		 →
↑
203.23 m
↓
↑
203.23 m
↓
N 70.566976°
W  7.866211°		 ← 203.21 m →
41 298 m²		 N 70.566976°
W  7.860718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478157043457031 y=0.219123840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478157043457031 × 216)
    floor (0.478157043457031 × 65536)
    floor (31336.5)     		tx = 31336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219123840332031 × 216)
    floor (0.219123840332031 × 65536)
    floor (14360.5)     		ty = 14360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31336 / 14360 ti = "16/31336/14360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31336/14360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31336 ÷ 216
    31336 ÷ 65536     		x = 0.4781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14360 ÷ 216
    14360 ÷ 65536     		y = 0.2191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13729128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2191162109375 × 2 - 1) × π
    0.561767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76484489641199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13729128} λ = -0.13729128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76484489641199))-π/2
    2×atan(5.8406663795157)-π/2
    2×1.40122714693156-π/2
    2.80245429386312-1.57079632675     		φ = 1.23165797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13729128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23165797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.568803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31336 KachelY 14360 -0.13729128 1.23165797 -7.866211 70.568803
    Oben rechts KachelX + 1 31337 KachelY 14360 -0.13719541 1.23165797 -7.860718 70.568803
    Unten links KachelX 31336 KachelY + 1 14361 -0.13729128 1.23162607 -7.866211 70.566976
    Unten rechts KachelX + 1 31337 KachelY + 1 14361 -0.13719541 1.23162607 -7.860718 70.566976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23165797-1.23162607) × R
    3.19000000001957e-05 × 6371000     		dl = 203.234900001247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23165797-1.23162607) × R
    3.19000000001957e-05 × 6371000     		dr = 203.234900001247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13729128--0.13719541) × cos(1.23165797) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332674650294458 × 6371000     		do = 203.193607788878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13729128--0.13719541) × cos(1.23162607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332704733154218 × 6371000     		du = 203.211982031705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23165797)-sin(1.23162607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332674650294458-0.332704733154218)×R²
    abs(-0.13719541--0.13729128)×3.00828597596392e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00828597596392e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00828597596392e-05×40589641000000     		ar = 41297.8997071296m²