Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31336 / 13176
↖ ↑ ↗
← N 72.620252°
W  7.866211°		 ← 182.44 m → N 72.620252°
W  7.860718°		 →
↑
182.47 m
↓
↑
182.47 m
↓
N 72.618611°
W  7.866211°		 ← 182.46 m →
33 291 m²		 N 72.618611°
W  7.860718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478157043457031 y=0.201057434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478157043457031 × 216)
    floor (0.478157043457031 × 65536)
    floor (31336.5)     		tx = 31336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201057434082031 × 216)
    floor (0.201057434082031 × 65536)
    floor (13176.5)     		ty = 13176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31336 / 13176 ti = "16/31336/13176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31336/13176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31336 ÷ 216
    31336 ÷ 65536     		x = 0.4781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13176 ÷ 216
    13176 ÷ 65536     		y = 0.2010498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13729128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2010498046875 × 2 - 1) × π
    0.597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87835947471228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13729128} λ = -0.13729128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87835947471228))-π/2
    2×atan(6.54276248572092)-π/2
    2×1.41912941236387-π/2
    2.83825882472775-1.57079632675     		φ = 1.26746250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13729128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26746250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.620252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31336 KachelY 13176 -0.13729128 1.26746250 -7.866211 72.620252
    Oben rechts KachelX + 1 31337 KachelY 13176 -0.13719541 1.26746250 -7.860718 72.620252
    Unten links KachelX 31336 KachelY + 1 13177 -0.13729128 1.26743386 -7.866211 72.618611
    Unten rechts KachelX + 1 31337 KachelY + 1 13177 -0.13719541 1.26743386 -7.860718 72.618611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26746250-1.26743386) × R
    2.86400000000242e-05 × 6371000     		dl = 182.465440000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26746250-1.26743386) × R
    2.86400000000242e-05 × 6371000     		dr = 182.465440000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13729128--0.13719541) × cos(1.26746250) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29870348488364 × 6371000     		do = 182.444435423303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13729128--0.13719541) × cos(1.26743386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298730817229677 × 6371000     		du = 182.461129685988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26746250)-sin(1.26743386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29870348488364-0.298730817229677)×R²
    abs(-0.13719541--0.13729128)×2.73323460363017e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.73323460363017e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.73323460363017e-05×40589641000000     		ar = 33291.3272503192m²