Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31334 / 19689
↖ ↑ ↗
← N 58.144619°
W  7.877197°		 ← 322.39 m → N 58.144619°
W  7.871704°		 →
↑
322.37 m
↓
↑
322.37 m
↓
N 58.141720°
W  7.877197°		 ← 322.42 m →
103 935 m²		 N 58.141720°
W  7.871704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478126525878906 y=0.300437927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478126525878906 × 216)
    floor (0.478126525878906 × 65536)
    floor (31334.5)     		tx = 31334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300437927246094 × 216)
    floor (0.300437927246094 × 65536)
    floor (19689.5)     		ty = 19689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31334 / 19689 ti = "16/31334/19689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31334/19689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31334 ÷ 216
    31334 ÷ 65536     		x = 0.478118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19689 ÷ 216
    19689 ÷ 65536     		y = 0.300430297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.04376220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13748303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300430297851562 × 2 - 1) × π
    0.399139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25393342026143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13748303} λ = -0.13748303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25393342026143))-π/2
    2×atan(3.50409897954218)-π/2
    2×1.29280569013279-π/2
    2.58561138026558-1.57079632675     		φ = 1.01481505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13748303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.877197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01481505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.144619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31334 KachelY 19689 -0.13748303 1.01481505 -7.877197 58.144619
    Oben rechts KachelX + 1 31335 KachelY 19689 -0.13738715 1.01481505 -7.871704 58.144619
    Unten links KachelX 31334 KachelY + 1 19690 -0.13748303 1.01476445 -7.877197 58.141720
    Unten rechts KachelX + 1 31335 KachelY + 1 19690 -0.13738715 1.01476445 -7.871704 58.141720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01481505-1.01476445) × R
    5.06000000000117e-05 × 6371000     		dl = 322.372600000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01481505-1.01476445) × R
    5.06000000000117e-05 × 6371000     		dr = 322.372600000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13748303--0.13738715) × cos(1.01481505) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.527777033951545 × 6371000     		do = 322.393382299286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13748303--0.13738715) × cos(1.01476445) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.527820012053346 × 6371000     		du = 322.419635536379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01481505)-sin(1.01476445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527777033951545-0.527820012053346)×R²
    abs(-0.13738715--0.13748303)×4.29781018010944e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29781018010944e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29781018010944e-05×40589641000000     		ar = 103935.024559286m²