Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31332 / 19615
↖ ↑ ↗
← N 58.358512°
W  7.888184°		 ← 320.45 m → N 58.358512°
W  7.882690°		 →
↑
320.40 m
↓
↑
320.40 m
↓
N 58.355631°
W  7.888184°		 ← 320.48 m →
102 677 m²		 N 58.355631°
W  7.882690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478096008300781 y=0.299308776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478096008300781 × 216)
    floor (0.478096008300781 × 65536)
    floor (31332.5)     		tx = 31332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299308776855469 × 216)
    floor (0.299308776855469 × 65536)
    floor (19615.5)     		ty = 19615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31332 / 19615 ti = "16/31332/19615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31332/19615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31332 ÷ 216
    31332 ÷ 65536     		x = 0.47808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19615 ÷ 216
    19615 ÷ 65536     		y = 0.299301147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.0438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13767478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299301147460938 × 2 - 1) × π
    0.401397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2610280814052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13767478} λ = -0.13767478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2610280814052))-π/2
    2×atan(3.52904777138021)-π/2
    2×1.29467225568574-π/2
    2.58934451137147-1.57079632675     		φ = 1.01854818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13767478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.888184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01854818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.358512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31332 KachelY 19615 -0.13767478 1.01854818 -7.888184 58.358512
    Oben rechts KachelX + 1 31333 KachelY 19615 -0.13757890 1.01854818 -7.882690 58.358512
    Unten links KachelX 31332 KachelY + 1 19616 -0.13767478 1.01849789 -7.888184 58.355631
    Unten rechts KachelX + 1 31333 KachelY + 1 19616 -0.13757890 1.01849789 -7.882690 58.355631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01854818-1.01849789) × R
    5.02900000001194e-05 × 6371000     		dl = 320.397590000761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01854818-1.01849789) × R
    5.02900000001194e-05 × 6371000     		dr = 320.397590000761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13767478--0.13757890) × cos(1.01854818) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.524602506715095 × 6371000     		do = 320.454217638601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13767478--0.13757890) × cos(1.01849789) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.524645320306961 × 6371000     		du = 320.480370384557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01854818)-sin(1.01849789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524602506715095-0.524645320306961)×R²
    abs(-0.13757890--0.13767478)×4.28135918660866e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.28135918660866e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28135918660866e-05×40589641000000     		ar = 102676.948696993m²