Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31330 / 19619
↖ ↑ ↗
← N 58.346983°
W  7.899170°		 ← 320.53 m → N 58.346983°
W  7.893677°		 →
↑
320.53 m
↓
↑
320.53 m
↓
N 58.344101°
W  7.899170°		 ← 320.55 m →
102 741 m²		 N 58.344101°
W  7.893677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478065490722656 y=0.299369812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478065490722656 × 216)
    floor (0.478065490722656 × 65536)
    floor (31330.5)     		tx = 31330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299369812011719 × 216)
    floor (0.299369812011719 × 65536)
    floor (19619.5)     		ty = 19619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31330 / 19619 ti = "16/31330/19619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31330/19619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31330 ÷ 216
    31330 ÷ 65536     		x = 0.478057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19619 ÷ 216
    19619 ÷ 65536     		y = 0.299362182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478057861328125 × 2 - 1) × π
    -0.04388427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13786652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299362182617188 × 2 - 1) × π
    0.401275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26064458620824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13786652} λ = -0.13786652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26064458620824))-π/2
    2×atan(3.52769465798287)-π/2
    2×1.29457164799366-π/2
    2.58914329598731-1.57079632675     		φ = 1.01834697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13786652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.899170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01834697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.346983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31330 KachelY 19619 -0.13786652 1.01834697 -7.899170 58.346983
    Oben rechts KachelX + 1 31331 KachelY 19619 -0.13777065 1.01834697 -7.893677 58.346983
    Unten links KachelX 31330 KachelY + 1 19620 -0.13786652 1.01829666 -7.899170 58.344101
    Unten rechts KachelX + 1 31331 KachelY + 1 19620 -0.13777065 1.01829666 -7.893677 58.344101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01834697-1.01829666) × R
    5.03099999999979e-05 × 6371000     		dl = 320.525009999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01834697-1.01829666) × R
    5.03099999999979e-05 × 6371000     		dr = 320.525009999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13786652--0.13777065) × cos(1.01834697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.52477379568298 × 6371000     		do = 320.525416419636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13786652--0.13777065) × cos(1.01829666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.524816620989695 × 6371000     		du = 320.551573593224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01834697)-sin(1.01829666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52477379568298-0.524816620989695)×R²
    abs(-0.13777065--0.13786652)×4.28253067147333e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28253067147333e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28253067147333e-05×40589641000000     		ar = 102740.604338985m²