Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31329 / 38157
↖ ↑ ↗
← S 28.367236°
W  7.904663°		 ← 537.50 m → S 28.367236°
W  7.899170°		 →
↑
537.46 m
↓
↑
537.46 m
↓
S 28.372069°
W  7.904663°		 ← 537.48 m →
288 877 m²		 S 28.372069°
W  7.899170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478050231933594 y=0.582237243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478050231933594 × 216)
    floor (0.478050231933594 × 65536)
    floor (31329.5)     		tx = 31329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582237243652344 × 216)
    floor (0.582237243652344 × 65536)
    floor (38157.5)     		ty = 38157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31329 / 38157 ti = "16/31329/38157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31329/38157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31329 ÷ 216
    31329 ÷ 65536     		x = 0.478042602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38157 ÷ 216
    38157 ÷ 65536     		y = 0.582229614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478042602539062 × 2 - 1) × π
    -0.043914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13796240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582229614257812 × 2 - 1) × π
    -0.164459228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.516663904104965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13796240} λ = -0.13796240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516663904104965))-π/2
    2×atan(0.596507237580741)-π/2
    2×0.537847334760049-π/2
    1.0756946695201-1.57079632675     		φ = -0.49510166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13796240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49510166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.367236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31329 KachelY 38157 -0.13796240 -0.49510166 -7.904663 -28.367236
    Oben rechts KachelX + 1 31330 KachelY 38157 -0.13786652 -0.49510166 -7.899170 -28.367236
    Unten links KachelX 31329 KachelY + 1 38158 -0.13796240 -0.49518602 -7.904663 -28.372069
    Unten rechts KachelX + 1 31330 KachelY + 1 38158 -0.13786652 -0.49518602 -7.899170 -28.372069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49510166--0.49518602) × R
    8.43600000000055e-05 × 6371000     		dl = 537.457560000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49510166--0.49518602) × R
    8.43600000000055e-05 × 6371000     		dr = 537.457560000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13796240--0.13786652) × cos(-0.49510166) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.879920413571488 × 6371000     		do = 537.50068691247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13796240--0.13786652) × cos(-0.49518602) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.879880329223972 × 6371000     		du = 537.476201329465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49510166)-sin(-0.49518602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879920413571488-0.879880329223972)×R²
    abs(-0.13786652--0.13796240)×4.00843475163448e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.00843475163448e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.00843475163448e-05×40589641000000     		ar = 288877.22787676m²