Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31329 / 19617
↖ ↑ ↗
← N 58.352749°
W  7.904663°		 ← 320.51 m → N 58.352749°
W  7.899170°		 →
↑
320.53 m
↓
↑
320.53 m
↓
N 58.349866°
W  7.904663°		 ← 320.53 m →
102 735 m²		 N 58.349866°
W  7.899170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478050231933594 y=0.299339294433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478050231933594 × 216)
    floor (0.478050231933594 × 65536)
    floor (31329.5)     		tx = 31329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299339294433594 × 216)
    floor (0.299339294433594 × 65536)
    floor (19617.5)     		ty = 19617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31329 / 19617 ti = "16/31329/19617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31329/19617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31329 ÷ 216
    31329 ÷ 65536     		x = 0.478042602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19617 ÷ 216
    19617 ÷ 65536     		y = 0.299331665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478042602539062 × 2 - 1) × π
    -0.043914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13796240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299331665039062 × 2 - 1) × π
    0.401336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26083633380672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13796240} λ = -0.13796240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26083633380672))-π/2
    2×atan(3.52837114981748)-π/2
    2×1.29462195594534-π/2
    2.58924391189067-1.57079632675     		φ = 1.01844759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13796240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01844759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.352749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31329 KachelY 19617 -0.13796240 1.01844759 -7.904663 58.352749
    Oben rechts KachelX + 1 31330 KachelY 19617 -0.13786652 1.01844759 -7.899170 58.352749
    Unten links KachelX 31329 KachelY + 1 19618 -0.13796240 1.01839728 -7.904663 58.349866
    Unten rechts KachelX + 1 31330 KachelY + 1 19618 -0.13786652 1.01839728 -7.899170 58.349866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01844759-1.01839728) × R
    5.03099999999979e-05 × 6371000     		dl = 320.525009999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01844759-1.01839728) × R
    5.03099999999979e-05 × 6371000     		dr = 320.525009999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13796240--0.13786652) × cos(1.01844759) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.5246881410849 × 6371000     		do = 320.506527520228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13796240--0.13786652) × cos(1.01839728) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.524730969048012 × 6371000     		du = 320.532689044881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01844759)-sin(1.01839728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5246881410849-0.524730969048012)×R²
    abs(-0.13786652--0.13796240)×4.28279631120576e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.28279631120576e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.28279631120576e-05×40589641000000     		ar = 102734.55067172m²