Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31329 / 19616
↖ ↑ ↗
← N 58.355631°
W  7.904663°		 ← 320.48 m → N 58.355631°
W  7.899170°		 →
↑
320.46 m
↓
↑
320.46 m
↓
N 58.352749°
W  7.904663°		 ← 320.51 m →
102 706 m²		 N 58.352749°
W  7.899170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478050231933594 y=0.299324035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478050231933594 × 216)
    floor (0.478050231933594 × 65536)
    floor (31329.5)     		tx = 31329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299324035644531 × 216)
    floor (0.299324035644531 × 65536)
    floor (19616.5)     		ty = 19616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31329 / 19616 ti = "16/31329/19616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31329/19616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31329 ÷ 216
    31329 ÷ 65536     		x = 0.478042602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19616 ÷ 216
    19616 ÷ 65536     		y = 0.29931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478042602539062 × 2 - 1) × π
    -0.043914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13796240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29931640625 × 2 - 1) × π
    0.4013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26093220760596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13796240} λ = -0.13796240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26093220760596))-π/2
    2×atan(3.52870944438127)-π/2
    2×1.29464710684189-π/2
    2.58929421368379-1.57079632675     		φ = 1.01849789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13796240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01849789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.355631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31329 KachelY 19616 -0.13796240 1.01849789 -7.904663 58.355631
    Oben rechts KachelX + 1 31330 KachelY 19616 -0.13786652 1.01849789 -7.899170 58.355631
    Unten links KachelX 31329 KachelY + 1 19617 -0.13796240 1.01844759 -7.904663 58.352749
    Unten rechts KachelX + 1 31330 KachelY + 1 19617 -0.13786652 1.01844759 -7.899170 58.352749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01849789-1.01844759) × R
    5.02999999998366e-05 × 6371000     		dl = 320.461299998959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01849789-1.01844759) × R
    5.02999999998366e-05 × 6371000     		dr = 320.461299998959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13796240--0.13786652) × cos(1.01849789) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.524645320306961 × 6371000     		do = 320.48037038465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13796240--0.13786652) × cos(1.01844759) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.5246881410849 × 6371000     		du = 320.506527520228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01849789)-sin(1.01844759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524645320306961-0.5246881410849)×R²
    abs(-0.13786652--0.13796240)×4.28207779390455e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.28207779390455e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.28207779390455e-05×40589641000000     		ar = 102705.747314255m²